17.07.201929.09.2019 von Stefan Hartmann

Aufgabe 5

Es sei $X$ eine Menge und $f: X \to {\mathcal P}(X)$ eine Abbildung von $X$ in die zugehörige Potenzmenge. Man zeige, dass $f$ nicht surjektiv sein kann.

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Leona

Aus den Überlegungen der Zoom-Rhombusgruppe, wissen wir bereits, für endliche Mengen $X$ , dass die Aussage wahr ist. Wir haben nämlich bewiesen, dass wenn $|X|=n$ , so muss gelten, dass $|\mathcal{P}(X)|=2^n$ ist. Gäbe es allerdings ein $f:X\to\mathcal{P}(X)$ surjektiv, so müsste gelten, dass $| X|\geq |\mathcal{P}(X)|$ . Es existiert aber keine natürliche Zahl $n$ , sodass $n\geq 2^n$ . Also kann es kein solches surjektives $f$ geben.

Wir möchten die Aussage aber nun allgemein beweisen. Sei $X$ also eine beliebige Menge. Angenommen, es gibt ein $f:X\to\mathcal{P}(X)$ surjektiv.
Dann definiere die Menge $M:=\{x\in X\text{ sodass } x\notin f(x)\}$ .
Da $f$ surjektiv und $M\in \mathcal{P}(X)$ existiert ein $y\in X$ mit $f(y)=M$ .