Aufgabe 1

Lässt sich der Trick von Gauß über die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen auch anwenden, wenn $n$ ungerade ist?

2

Hinterlasse einen Kommentar

Mitglied

Elias M.

Ja, der Trick von Gauß ist auch anwendbar, wenn n ungerade ist. Jedoch muss spezifiziert werden, dass nur die positiven ungeraden Zahlen gemeint sind.
Diese Behauptung lässt sich über zwei Beweise zeigen, wobei der zweite den ersten enthält.
Der erste Beweis ist, den Trick für alle ungeraden Zahlen zu zeigen, indem man zeigt, dass $\sum_{k=1}^{2n+1}k=\frac{(2n+1)(2n+2)}{2}$ für alle $n\in\mathbb{N}$ gilt.
Der zweite Beweis ist, den Trick für alle natürlichen Zahlen zu zeigen, die die ungeraden Zahlen als Untermenge enthalten. Gilt der Trick also für alle natürlichen Zahlen, muss er auch für alle ungeraden Zahlen gelten.

Beweis 1:
Wir zeigen die Behauptung $\sum_{k=1}^{2n+1}k=\frac{(2n+1)(2n+2)}{2}$ durch vollständige Induktion über $n\in\mathbb{N}$

IA: $n=0$
$\sum_{k=1}^{1}k=1=\frac{2}{2}$

IV: Es gelte $\sum_{k=1}^{2n+1}k=\frac{(2n+1)(2n+2)}{2}$ für ein beliebiges $n\in\mathbb{N}$ .

IS: $n\xrightarrow{}n+1$
$\sum_{k=1}^{2n+3}k=\sum_{k=1}^{2n+1}k+(2n+2)+(2n+3)$
$\underset{\mathrm{IV}}{=}\frac{(2n+1)(2n+2)}{2}+\frac{2(2n+2)}{2}+\frac{2(2n+3)}{2}$
$=\frac{(2n+1)(2n+2)+2(2n+2)+2(2n+3)}{2}$
$=\frac{(2n+3)(2n+2)+2(2n+3)}{2}$
$=\frac{(2n+4)(2n+3)}{2}$
QED

Beweis 2:
Wir zeigen die Behauptung $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ durch vollständige Induktion über $n\in\mathbb{N}$ .

IA: $n=0$
$\sum_{k=1}^{0}=0=\frac{0}{2}$

IV: Es gelte $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ für ein beliebiges $n\in\mathbb{N}$ .

IS: $n\xrightarrow{}n+1$
$\sum_{k=1}^{n+1}k=\sum_{k=1}^{n}k+(n+1)$
$\underset{\mathrm{IV}}{=}\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}$
$=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}$
$=\frac{(n+2)(n+1)}{2}$
QED

Autor

Stefan Hartmann

Lieber Elias, das ist in jeder Hinsicht perfekt gelöst. Super!

2 Hinterlasse einen Kommentar

2

Hinterlasse einen Kommentar