Ersetzt man im Pascalschen Dreieck die Einträge durch kleine rechteckige weiße und schwarze Kästchen, je nachdem der entsprechende Binomial-Koeffizient gerade oder ungerade ist, so entsteht eine interessante Figur, siehe Bild 1.1.
Wir bezeichnen das Kästchen, das dem Binomial-Koeffizienten entspricht, mit
. In der Figur sind alle Kästchen
bis
dargestellt. Man beweise dazu:
a) ist ungerade für alle
, d.h. die Zelle mit
ist vollständig schwarz.
b) ist gerade für alle
.
c) ist ungerade für alle
.
d) Das Dreieck mit den Ecken ,
,
geht durch Verschiebung
in das Dreieck
,
,
mit demselben Farbmuster über.
e) Das Dreieck mit den Ecken ,
,
weist außerdem eine Symmetrie bzgl. Drehungen um den Mittelpunkt mit Winkel 120 Grad und 240 Grad auf, genauer: Durch die Transformation
, (
)
geht das Dreieck unter Erhaltung des Farbmusters in sich über, d.h. die Binomialkoeffizienten
und
sind entweder beide gerade oder beide ungerade.
Hinterlasse einen Kommentar