Aufgabe 12

Ersetzt man im Pascalschen Dreieck die Einträge durch kleine rechteckige weiße und schwarze Kästchen, je nachdem der entsprechende Binomial-Koeffizient gerade oder ungerade ist, so entsteht eine interessante Figur, siehe Bild 1.1.

Wir bezeichnen das Kästchen, das dem Binomial-Koeffizienten {k \choose l} entspricht, mit (k,l). In der Figur sind alle Kästchen (k,l) bis k=63 dargestellt. Man beweise dazu:

a) {{2^n-1} \choose l ist ungerade für alle 0 \le l \le 2^n-1, d.h. die Zelle mit k=2^n -1 ist vollständig schwarz.

b) {2^n \choose l} ist gerade für alle 1 \le l \le 2^n-1.

c) {{2^n+l} \choose l} ist ungerade für alle 0 \le l \le 2^n-1.

d) Das Dreieck mit den Ecken (0,0), (2^n-1,0), (2^n-1,2^n-1) geht durch Verschiebung (k,l) \mapsto (2^n+k,l) in das Dreieck (2^n,0), (2^{2n}-1,0), (2^{2n}-1,2^n-1) mit demselben Farbmuster über.

e) Das Dreieck mit den Ecken (0,0), (2^n-1,0), (2^n-1,2^n-1) weist außerdem eine Symmetrie bzgl. Drehungen um den Mittelpunkt mit Winkel 120 Grad und 240 Grad auf,  genauer: Durch die Transformation

(k,l) \mapsto (2^n-1-l,k-l) ,    (0 \le l \le k \le 2^n-1)

geht das Dreieck unter Erhaltung des Farbmusters in sich über, d.h. die Binomialkoeffizienten

{k \choose l}    und    {{2^n-1-l} \choose {k-l}

sind entweder beide gerade oder beide ungerade.

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