19.07.201919.07.2019 von Stefan Hartmann

Aufgabe 3

Man beweise die Summenformeln

$\sum\limits_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ und $\sum\limits_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ .

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Webmaster

Leona

Falsche Aufgabe, tut mir Leid…

Mitglied

Elias M.

Wir zeigen die Behauptung $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$ durch vollständige Induktion über $n\in\mathbb{N}$ .
IA: $n=0$
$\sum_{k=1}^{0} k^{3}=0=\frac{0}{4}$

IV: Es gelte $\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$ für ein beliebiges $n\in\mathbb{N}$ .

IS: $n\xrightarrow{}n+1$
$\sum_{k=1}^{n+1} k^{3}=\sum_{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}$
$\underset{\mathrm{IV}}{=}\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+(n+1)^{3}$
$=\frac{n^{2}}{4(n+1)}(n+1)^{3}+(n+1)^{3}$
$=\frac{n^{2}+4(n+1)}{4(n+1)}(n+1)^{3}$
$=\frac{(n+2)^{2}}{4(n+1)}(n+1)^{3}$
$=\frac{(n+2)^{2}(n+1)^{2}}{4}$
QED

Wir zeigen die Behauptung $\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ durch vollständige Induktion über $n\in\mathbb{N}$ .
IA: $n=0$
$\sum_{k=1}^{0} k^{2}=0=\frac{0}{6}$

IV: Es gelte $\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ für ein beliebiges $n \in\mathbb{N}$ .

IS: $n\xrightarrow{}n+1$
$\sum_{k=1}^{n+1} k^{2}=\sum_{k=1}^{n}k^{2}+(n+1)^{2}$
$\underset{\mathrm{IV}}{=}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}$
$=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^{2}}{6}$
$=\frac{(n(2n+1)+6(n+1))(n+1)}{6}$
$=\frac{(2n^{2}+7n+6)(n+1)}{6}$
$=\frac{(n+2)(2n+3)(n+1)}{6}$
QED

Webmaster

Leona

Das ist schon sehr gut!! Dennoch ein paar (formale Anmerkungen)

Kleinigkeit, aber: Warum fängst du mit $n=o$ statt $n=0$ an?

Lies dir bitte nochmal deine Induktionsvoraussetzung durch (oder vergleiche mal mit anderen). Hier hat sich ein Fehler eingeschlichen. Wenn die so stimmt, kann man sich den Induktionsschritt schenken.

Beweise in der Mathematik enthalten oft mehr Text, als man sich das so vorstellt. Deshalb würde ich diese zwei Beweise in jedem Fall mit „Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über $n\in\mathbb{N}$ “ beginnen und evtl. auch mit „Dies zeigt die Behauptung:“ beenden.

Ich verstehe zwar, was du meinst, wenn man aber eine Notation wie $S(n)$ benutzt, sollte man sie auch immer definieren. Meinst du “
$S(n)=\sum_{k=1}^n k^3$ “
oder
„ $S(n)$ sei die Aussage, dass eine natürliche Zahl $n\in\mathbb{N}$ die Eigenschaft $\sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ erfülllt.“

Formal gesehen macht das einen (kleinen) Unterschied.
Ich persönlich bevorzuge es, beim Induktionsschritt nur
„IS: $n\mapsto n+1$ “
zu schreiben und $S(n)$ ganz wegzulassen. Das ist aber auch ein bisschen Geschmackssache.

Mitglied

Elias M.

Ich hoffe, es stimmt jetzt alles!

Webmaster

Leona

Noch ein Punkt am Ende der Induktionsvoraussetzung und ich bin zufrieden 😉 Mal sehen, was Stefan sagt. Passt du Aufgabe 6 auch an?

Autor

Stefan Hartmann

Ich hatte so ziemlich die gleichen Sachen gesehen. Bei der Induktionsvoraussetzung war mir nichts aufgefallen, muss ich überlesen haben. Was war da? Das S(n) fiel etwas vom Himmel und auf jeden Fall müssen die Lösungen textlastiger sein. Man muss dem Leser/der Leserin erklären, was man macht. Aber das hat Leona alles schon angemerkt. Jetzt sieht es gut aus!

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