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Stefan HartmannElias M.Leona Letzte Kommentartoren
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Elias M.
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Elias M.

Wie zeigen die Behauptung \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1} durch vollständige Induktion über n \in\mathbb{N}.
IA: n=0
\sum_{k=1}^{0} \frac{1}{k(k+1)}=0=1-\frac{1}{1}

IV: Es gelte \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1} für ein beliebiges n \in\mathbb{N}.

IS: n\xrightarrow{}n+1

\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}
\underset{\mathrm{IV}}{=}1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}
=1-\frac{(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}
=1-\frac{(n+1)}{(n+1)(n+2)}
=1-\frac{1}{n+2}
QED