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Elias M.Leona Letzte Kommentartoren
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Idee: Wir schreiben b_k=B_k-B_{k-1} für n\geq k\geq 1 und b_0=B_0, sowie a_{k+1}=A_{k+1}-A_k für 0\leq k\leq n-1 .

Zu zeigen: \sum_{k=0}^n A_kb_k= A_nB_n - \sum_{k=0} ^{n-1} a_{k+1} B_k.
Wir beginnen auf der linken Seite der Gleichung und formen dies dann um.

    \begin{align*} \sum_{k=0}^n A_kb_k&=A_0B_0+\sum_{k=1}^n A_k(B_k-B_{k-1})\\ &=A_0B_0+\sum_{k=1}^n A_k B_k-\sum_{k=1}^n A_k B_{k-1}\\ &=\sum_{j=0}^n A_j B_j -\sum_{j=0}^{n-1}A_{j+1}B_{j}\\ &=A_nB_n+\sum_{j=0}^{n-1} A_j B_j -\sum_{j=0}^{n-1}A_{j+1}B_{j}\\ &=A_nB_n+\sum_{j=0}^{n-1} (A_jB_j-A_{j+1}B_j)\\ &=A_nB_n-\sum_{j=0}^{n-1} (A_{j+1}B_j-A_jB_j)\\ &=A_nB_n-\sum_{j=0}^{n-1} (A_{j+1}-A_j)B_j\\ &=A_nB_n-\sum_{j=0}^{n-1} a_{j+1}B_j, \end{align*}

dies zeigt die Behauptung, wobei wir den Hinweis zweimal (jeweils in Zeile 1 und in der letzten Zeile) verwendet haben.

Elias M.
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Elias M.

Nach Leona’s Tipp lässt sich \sum_{0}^{n}A_k b_k=A_n B_n - \sum_{0}^{n-1}a_{k+1} B_k äquivalent als \sum_{k=1}^{n}A_k\left(B_k-B_{k-1}\right)+A_0 B_0=A_n B_n -\sum_{k=0}^{n-1}\left(A_{k+1}-A_k \right)B_k darstellen. Die linke Summe muss geteilt werden in \sum_{k=1}^{n}A_k\left(B_k-B_{k-1}\right) und A_0 B_0, da k-1 für k=0 in diesem Zusammenhang nicht definiert ist.
Äquivalenzumformung gibt:

    \begin{align*}  &\sum_{k=1}^{n}A_k\left(B_k-B_{k-1}\right)+A_0 B_0=A_n B_n -\sum_{k=0}^{n-1}\left(A_{k+1}-A_k \right)B_k\\ &\Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n}A_k\left(B_k-B_{k-1}\right)+A_0 B_0+\sum_{k=0}^{n-1}\left(A_{k+1}-A_k \right)B_k=A_n B_n\\ &\Leftrightarrow \sum_{k=1}^n A_k B_k +A_0 B_0 -\sum_{k=1}^n A_k B_{k-1} +\sum_{k=0}^{n-1} A_{k+1} B_k -\sum_{k=0}^{n-1}A_k B_k=A_n B_n\\ &\Leftrightarrow \sum_{k=0}^n A_k B_k -\sum_{k=0}^{n-1}A_k B_k +\sum_{k=0}^{n-1} A_{k+1} B_k -\sum_{K=1}^n A_k B_{k-1}=A_n B_n\\ &\Leftrightarrow A_n B_n +\sum_{k=1}^{n} A_{k} B_{k-1} - \sum_{k=1}^n A_k B_{k-1}=A_n B_n\\ &\Leftrightarrow A_n B_n=A_n B_n\\ \end{align*}

Aus der Äquivalenz dieser Aussagen folgt, dass der Wahheitswert jeder vorherigen Aussage mit dem der letzten übereinstimmt. Da diese tautologisch ist, ist die anfängliche Aussage bewiesen.