19.07.201916.08.2019 von Stefan Hartmann

Aufgabe 8

Seien $a_0,\, a_1,\ldots,a_n$ und $b_0,\, b_1,\ldots,b_n$ reelle Zahlen und

$A_k := \sum\limits_{i=0}^k a_i$ , $B_k := \sum\limits_{i=0}^k b_i$ für $k=0,\,1,\ldots,n$ .

Man beweise (Abelsche partielle Summation):

$\sum\limits_{k=0}^n A_kb_k = A_nB_n - \sum\limits_{k=0}^{n-1}a_{k+1}B_k$ .

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Leona

Idee: Wir schreiben $b_k=B_k-B_{k-1}$ für $n\geq k\geq 1$ und $b_0=B_0$ , sowie $a_{k+1}=A_{k+1}-A_k$ für $0\leq k\leq n-1$ .

Zu zeigen: $\sum_{k=0}^n A_kb_k= A_nB_n - \sum_{k=0} ^{n-1} a_{k+1} B_k$ .
Wir beginnen auf der linken Seite der Gleichung und formen dies dann um.

$\begin{align*} \sum_{k=0}^n A_kb_k&=A_0B_0+\sum_{k=1}^n A_k(B_k-B_{k-1})\\ &=A_0B_0+\sum_{k=1}^n A_k B_k-\sum_{k=1}^n A_k B_{k-1}\\ &=\sum_{j=0}^n A_j B_j -\sum_{j=0}^{n-1}A_{j+1}B_{j}\\ &=A_nB_n+\sum_{j=0}^{n-1} A_j B_j -\sum_{j=0}^{n-1}A_{j+1}B_{j}\\ &=A_nB_n+\sum_{j=0}^{n-1} (A_jB_j-A_{j+1}B_j)\\ &=A_nB_n-\sum_{j=0}^{n-1} (A_{j+1}B_j-A_jB_j)\\ &=A_nB_n-\sum_{j=0}^{n-1} (A_{j+1}-A_j)B_j\\ &=A_nB_n-\sum_{j=0}^{n-1} a_{j+1}B_j, \end{align*}$

dies zeigt die Behauptung, wobei wir den Hinweis zweimal (jeweils in Zeile 1 und in der letzten Zeile) verwendet haben.

Mitglied

Elias M.

Nach Leona’s Tipp lässt sich $\sum_{0}^{n}A_k b_k=A_n B_n - \sum_{0}^{n-1}a_{k+1} B_k$ äquivalent als $\sum_{k=1}^{n}A_k\left(B_k-B_{k-1}\right)+A_0 B_0=A_n B_n -\sum_{k=0}^{n-1}\left(A_{k+1}-A_k \right)B_k$ darstellen. Die linke Summe muss geteilt werden in $\sum_{k=1}^{n}A_k\left(B_k-B_{k-1}\right)$ und $A_0 B_0$ , da $k-1$ für $k=0$ in diesem Zusammenhang nicht definiert ist.
Äquivalenzumformung gibt:

$\begin{align*} &\sum_{k=1}^{n}A_k\left(B_k-B_{k-1}\right)+A_0 B_0=A_n B_n -\sum_{k=0}^{n-1}\left(A_{k+1}-A_k \right)B_k\\ &\Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n}A_k\left(B_k-B_{k-1}\right)+A_0 B_0+\sum_{k=0}^{n-1}\left(A_{k+1}-A_k \right)B_k=A_n B_n\\ &\Leftrightarrow \sum_{k=1}^n A_k B_k +A_0 B_0 -\sum_{k=1}^n A_k B_{k-1} +\sum_{k=0}^{n-1} A_{k+1} B_k -\sum_{k=0}^{n-1}A_k B_k=A_n B_n\\ &\Leftrightarrow \sum_{k=0}^n A_k B_k -\sum_{k=0}^{n-1}A_k B_k +\sum_{k=0}^{n-1} A_{k+1} B_k -\sum_{K=1}^n A_k B_{k-1}=A_n B_n\\ &\Leftrightarrow A_n B_n +\sum_{k=1}^{n} A_{k} B_{k-1} - \sum_{k=1}^n A_k B_{k-1}=A_n B_n\\ &\Leftrightarrow A_n B_n=A_n B_n\\ \end{align*}$

Aus der Äquivalenz dieser Aussagen folgt, dass der Wahheitswert jeder vorherigen Aussage mit dem der letzten übereinstimmt. Da diese tautologisch ist, ist die anfängliche Aussage bewiesen.

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