Aufgabe 1.2.4

Zeigen Sie anhand von Definition 1.2.2:

(1) ${\mathbb N} \subset {\mathbb Q}$

(2) $\left\{\frac{3}{4}, \frac{14}{17}, \frac{187}{223} \right\} \subset \left\{x | x \in Q, \textrm{und x ist kleiner als} \ \frac{11}{13} \right\}$ .

(3) $\left\{x | x \in {\mathbb R} , x \ \textrm{ist kleiner als 2 und} \ \frac{2x^3-5x^2-2x+5}{14x^2-69x + 85}=0 \right\} \subset \{-1,1\}$ .

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Mitglied

Laura

zu (1): Sei $n \in {\mathbb N}$ beliebig. Dann gilt: $n=\frac{n}{1} \in {\mathbb Q}$ nach Definition von ${\mathbb Q}$ .

zu (2): Für $\frac{3}{4}$ gilt: $\frac{3}{4} \in {\mathbb Q}_+$ und $\frac{3}{4}=\frac{39}{52}<\frac{44}{52}=\frac{11}{13}$ . Für $\frac{14}{17}$ gilt: $\frac{14}{17} \in {\mathbb Q}_+$ und $\frac{14}{17}=\frac{182}{221}<\frac{187}{221}=\frac{11}{13}$ . Für $\frac{187}{223}$ gilt: $\frac{187}{223} \in {\mathbb Q}_+$ und $\frac{187}{223}=\frac{2431}{2899}<\frac{2453}{2899}=\frac{11}{13}$ .

zu (3): Sei $x_0 \in \left\{x \in \mathbb{R}, x \ {\rm ist}\ {\rm kleiner} \ {\rm als} \ 2 \ {\rm und} \ \frac{2x^3-5x^2-2x+5}{14x^2-69x+85}=0\right\}$ . Die Nullstellen von $2x^3-5x^2-2x+5$ sind $x_1=1$ , $x_2=-1$ und $x_3=2.5$ . Nur $x_1$ und $x_2$ sind kleines als $2$ und liegen daher in der Menge. Es folgt also $x_0=1$ oder $x_0=-1$ .

Autor

Stefan Hartmann

Alles richtig! 😉

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