04.08.202004.08.2020 von Stefan Hartmann

Aufgabe 1.3

Sei $\mathbb{K}$ ein Körper und $f:M_{22}(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ definiert durch $\left( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right) \to ad-bc$ für alle $\left( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right) \in M_{22}(\mathbb{K})$ .

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen.

1. Die Abbildung $f$ ist surjektiv.
2. Die Abbildung $f$ ist nicht injektiv.
3. Für alle $A, B \in M_{22}(\mathbb{K})$ gilt $f(AB)=f(A)f(B)$ .
4. Für alle $A, B \in M_{22}(\mathbb{K})$ gilt $f(A+B)=f(A)+f(B)$ .

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Mitglied

Sena

$1$
Sei $r \in \mathbb{K}$ beliebig
Definiere: $M= \left ( \begin{array}{cc} r &0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) (1):$ Dann ist $f(M)=$ $r\cdot 1$ $-$ $0\cdot 0=r$

Weil r beliebig gewählt wurde und aus $(1)$ folgt, dass die Matrix M für ein beliebiges r stets mindestens einmal auf $\to ad-bc$ abbildet, also mindestens ein Ergebnis hat, wurde, falls ich das heute richtig verstanden habe, gezeigt, dass f surjektiv ist.

Webmaster

Leona

Hallo Sena!

Ich finde den Anfang super! Ich glaube aber, dass irgendetwas beim setzen des Textes durcheinander geraten ist. In deiner ertsen Version, finde ich nämlich sehr schön, dass du dir zuerst ein beliebiges $r$ „nimmst und am Anschluss $M$ definierst. Diese Reihenfolge und Abhängigkeit sind sehr wichtig!

Auch wäre es sehr schön, wenn du die Definition von Surjektivität wiederholst. Du tust es zwar am Ende indirekt, aber es ist etwas logischer, dies zu Beginn zu tun. In etwa „Es ist zu zeigen, dass $f$ eine surjektive Abbildung ist. Das heißt, für … (irgendwas mit allen $r\in\mathbb{K})...$ . “ und dann weitermachen wie bisher.

Wenn du die Abhängigkeit zwischen $M$ und $r$ verdeutlich willst, kannst du auch $M(r)$ schreiben.

Diese Schreibweise „ $\leftarrow ad-bc$ “ mitten im Saz ist sehr unüblich. Ich verstehe zwar, was du meinst, aber an sich hast du mit der vorherigen Zeile $f(M)=...=r$ alles gesagt.

Ich hoffe, dass meine Anmerkungen verständlich sind. Definitiv ein sehr guter Start! Meine ersten Beweise haben sich bestimmt viel schlechter gelesen 😀

Mitglied

Sena

Danke für die Rückmeldung!

Autor

Stefan Hartmann

Ja, in der Tat ist dieser Satz hier „ Weil r beliebig gewählt wurde und aus (1) folgt, dass die Matrix M für ein beliebiges r stets mindestens einmal auf \to ad-bc abbildet, also mindestens ein Ergebnis hat, wurde,“ nicht wirklich sinnvoll. 😉 Du bist vorher im Prinzip schon fertig und das war auch alles prima bis dahin. Wie Leona schon meinte, ist es allerdings besser (in deinem Stadium des Verstehens) vorher noch einmal hinzuschreiben, was eigentlich zu zeigen ist. Also so in etwa: Sei $r\in \mathbb{K}$ beliebig gewählt. Zu zeigen ist: Es gibt ein $M \in M_{22}(\mathbb{K})$ mit $f(M)=r$ . Wir definieren: … usw. Dann noch das bis zu dem oben zitierten Satz und du bist fertig. Leona hat das ja auch so ähnlich geschrieben. Auf jeden Fall: Prima, sehr gut gemacht! 👍

Webmaster

Leona

Ich habe noch eine Mengenklammer und zwei Backslashs eingefügt. Jetzt sieht es viel besser aus 🙂 Texen ohne Compiler ist zu Beginn mit Sicherheit sehr schwer, du kannst ruhig jederzeit um Hilfe bitten, wenn du nicht die gewünschte Darstellung produzieren kannst.

Autor

Stefan Hartmann

Lösungsversuch von Katarina:

Teilaufgabe 2: Zu zeigen ist, dass die Abbildung f nicht injektiv ist. Injektivität bedeutet, dass es zu jedem Element aus $\mathbb{K}¹$ höchstens ein Element aus $M_2_2 (\mathbb{K}¹)$ gibt. Es reicht nun ein Gegenbeispiel zu finden, damit die Aussage gilt.

Beweis:
1. $C, D\in M_2_2 (\mathbb{K})$ , wichtig ist dass $C$ und $D$ zwei verschiedene Elemente sind.

$C= \left(\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{matrix}\right)$
$D= \left(\begin{matrix} -1 & 0\\ 0& -1\\ \end{matrix}\right)$
So ist $f(C)=1$ und $f(D)=1$ , dass heißt das es zu einem Element aus $\mathbb{K}¹$ zwei verschiedene Elemente aus $M_2_2(\mathbb{K})$ gibt. Somit liegt keine Injektivität vor.

Webmaster

Leona

Hallo Katarina!

Definitiv eine richtige und schon sehr gute Lösung! Deswegen bekommst du auch „nur“ Form-Anmerkungen.
Ich würde den Satz „Injektivität bedeutet…“ im Konjunktiv halten.
Also in etwa „Injektivität der Abbildung $f$ würde bedeuten, dass…“

Es trägt außerdem zur Verständlichkeit bei, Objekte konkret zu benennen. Versuche also mal den Satz zu formulieren mit „zu jedem $k\in\mathbb{K}$ existiert höchstens ein $M\in M_{22}(\mathbb{K})$ mit ….“ Injektivität ist eine Eigenschaft von Abbildungen, das heißt, du solltest den Bezug zur Abbildung $f$ aktiv herstellen.

Mit diesen Formulierung kannst du dann im eigentlichen Beweis konkreter werden, z.B. anfangen mit „sei $k=...$ „.

In deinem letzten Satz kannst du auch konkreter werden „das heißt, dass zum Element $1\in\mathbb{K}$ …“.
Außerdem würde ich ein „mindestens zwei verschiedene Elemente“ bevorzugen, da es ja noch mehr geben könnte.

Meine Anmerkungen sind aber alle schon auf hohem Niveau!! Wäre das eine Abgabe, so wären es bei mir volle Punktzahl 🙂

Webmaster

Katarina

Vielen Dank für die tollen Hinweise. 😊

Mitglied

Sena

$(3)$
Zu beweisen oder widerlegen ist, dass für alle $A, B \in M_{22}(\mathbb{K}) f(AB)=f(A)f(B)$ gilt
Beweis:
$1:$
$A= \left ( \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{array} \right) B= \left ( \begin{array}{cc} b_1 & b_2\\ b_3 & b_4 \end{array} \right) AB= \left ( \begin{array}{cc} a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_3 & a_1\cdot b_2 +a_2\cdot b_4 \\ a_3\cdot b_1 + a_4\cdot b_3 & a_3\cdot b_2 +a_4\cdot b_4 \end{array} \right)$

$= ((a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_3)\cdot (a_3\cdot b_2 + a_4\cdot b_4)) - ((a_1\cdot b_2 + a_2\cdot b_4)\cdot (a_3\cdot b_1 + a_4\cdot b_3))$

$= (a_1\cdot b_1\cdot a_3\cdot b_2 + a_1\cdot b_1\cdot a_4\cdot b_4 + a_2\cdot b_3\cdot a_3\cdot b_2 + a_2\cdot b_3\cdot a_4\cdot b_4) - (a_1\cdot b_2\cdot a_3\cdot b_1 + a_1\cdot b_2\cdot a_4\cdot b_3 + a_2\cdot b_4\cdot a_3\cdot b_1 + a_2\cdot b_4\cdot a_4\cdot b_3)$

$= a_1\cdot b_1\cdot a_4\cdot b_4 - a_1\cdot b_2\cdot a_4\cdot b_3 + a_2\cdot b_3\cdot a_3\cdot b_2 - a_2\cdot b4\cdot a3\cdot b_1$

$f(A)\cdot f(B) = (a_1\cdot a_4 - a_2\cdot a_3)\cdot (b_1\cdot b_4 - b_2\cdot b_3)$
$= a_1\cdot a_4\cdot b_1\cdot b_4 - a_1\cdot a_4\cdot b_2\cdot b_3 - a_2\cdot a_3\cdot b_1\cdot b_4 + a_2\cdot a_3\cdot b_2\cdot b_3$

Da $f(AB$ ) aufgrund des Kommuntativgesetzes $= f(A) \cdot f(B)$ ist, wurde die Gleichung bewiesen.

Autor

Stefan Hartmann

Leider sind die Rechnungen nicht ganz richtig. $AB$ hast du noch richtig berechnet (allerdings musst du mit den Schreibweisen aufpassen, denn du schreibst $f(AB)$ davor und dann den Ausdruck für $AB$ dahinter), aber dann $f(AB)$ nicht mehr. Versuche bitte erst einmal $f(AB)$ richtig auszurechnen. Dazu musst du die vier Komponten der Matrix $AB$ richtig in die Formel von $f$ einsetzen.

Mitglied

Sena

Vielen Dank. Ich habe beide jetzt nochmal auch mit Zwischenschritten aufgeschrieben und hoffe mal, dass es jetzt keine Fehler mehr gibt 🙂

Autor

Stefan Hartmann

Jetzt stimmt die Rechnung.👍 Aber jetzt vergleiche nochmal beide Seiten ganz genau. 😊

(Falls du es widerlegen willst, aber das wird schwierig 😉, müsstest du ein konkretes Gegenbeispiel angeben.)

Mitglied

Sena

Ohhhh… das hab ich ja gar nicht korrigiert 😅

Autor

Stefan Hartmann

Es nicht das Assoziativgesetz, sondern das Kommuntativgesetz, aber sonst stimmt jetzt alles. Super! 👍

Mitglied

Sena

$(4)$
Zu beweisen oder widerlegen ist, dass für alle $A, B \in M_{22}(\mathbb{K})$ gilt $f(A+B)=f(A)+f(B)$ gilt. Ein Gegenbeispiel reicht zur Widerlegung der Aussage aus.
Beweis:
1:
Definiere: $A= \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$
und $B= \left (\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)$

$A + B = \left (\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0\end{array}\right)$
$f(A+B) = 0\cdot 0 - 0\cdot 0 =0$
$f(A) + f(B) = 1\cdot 1 + (-1\cdot (-1)) - (0\cdot 0 + 0\cdot 0) = 1 + 1 =2$
Da $0\neq 2$ ist, wurde die Gleichung widerlegt.

Autor

Stefan Hartmann

(Meine Korrektur ist falsch, siehe unten. Das Gegenbeispiel stimmt so i.A. nicht.)

Grundsätzlich richtig, aber die Zuordnungen stimmen nicht und daher auch die Rechnungen nicht. Es ist ja $f(A+B)=f(0)=0$ und $f(A)+f(B)=1+1=2$ , also genau andersherum als bei dir. Kannst du es nochmal korrigieren?

Mitglied

Sena

Danke. Ja, kann ich machen.

Autor

Stefan Hartmann

(Meine Korrektur ist falsch, siehe unten. Das Gegenbeispiel stimmt so i.A. nicht.)

Jetzt sieht es gut aus!! 👍✌️Ich würde nur bei $f(A)+f(B)$ die Reihenfolge ändern, damit es logischer und nachvollziehbarer ist:

$f(A)+f(B) = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 + (-1)\cdot (-1)- 0\cdot 0= 2$ .

Aber das ist nur ein Schönheitsmakel.

Sehr gut gemacht!! 👏

Autor

Stefan Hartmann

Noch ein kleiner Kommentar:

Du schreibst an einer Stelle:

„Da $f(AB)$ aufgrund des Kommuntativgesetzes = $f(A) \cdot f(B)$ ist, wurde die Gleichung bewiesen.“

Das ist kein guter Stil, in einen Fließtext plötzlich mit einem Gleichheitszeichen zu operieren, wenn nur auf der einen Seite der Gleichung etwas steht. Entweder du schreibst: „da… gleich $f(A)\cdot f(B)$ ist“ aus, oder du schreibst: „da wegen des Kommuntativgesetzes $f(AB)=f(A) \cdot f(B)$ gilt,…“

Verstehst du, was ich meine?

Autor

Stefan Hartmann

Liebe Sena, mir ist hier noch ein Fehler aufgefallen, den ich allerdings auch selbst gemacht hatte. Leider gilt nicht in allen Körpern $2\ne 0$ , beispielsweise nicht im Körper mit zwei Elementen. Daher musst du bitte ein anderes Gegenbeispiel finden. Beachte dazu bitte, dass in allen Körpern $1\ne 0$ gilt.

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