04.08.202004.08.2020 von Stefan Hartmann

Aufgabe 1.4

Sei $G=\left\{ \left( \begin{array}{cc}a&b \\-b & a \end{array} \right) \ \vert \ a,b \in \mathbb{R} \right\}$ .

Beweisen Sie, dass die Matrizenmultiplikation eine Verknüpfung auf $G$ ist, die assoziativ und kommutativ ist und die ein neutrales Element besitzt.

Finden Sie eine Matrix $A \in G$ , für die $A^2 = -I_2$ gilt.
Dabei ist $A^2=AA$ .

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Webmaster

Katarina

$\underline{1.Teil Verknüpfung beweisen}$
$\underline{1.1}$ Seien $g$ und $g'\in G$ , so müssen wir beweisen das $g\cdot g'\in G$ gilt.
$g=\left(\begin{matrix} a_{1} & a_{2}\\ \(-a_{2} & a_{1}\\ \end{matrix}\right)$
$g'=\left(\begin{matrix} b_{1} & b_{2}\\ \(-b_{2} & b_{1}\\ \end{matrix}\right)$

Jetzt berechnen wir $g\cdot g'=\left(\begin{matrix} a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot (-b_{2}) & a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1}\\ \-a_{2}\cdot b_{1}+a_{1}\cdot (-b_{2}) & a_{2}\cdot (-b_{2})+a_{1}\cdot b_{1}\\ \end{matrix}\right)$
$\underline{1.2}$ Nun müssen wir zeigen, dass $g\cdot g'=\left(\begin{matrix} c_{1} & c_{2}\\ \(-c_{2} & c_{1}\\ \end{matrix}\right)$ , dazu können wir die Diagonaleinträge vergleichen.

Um dies zu tun stellen wir $g\cdot g'$ um.
$g\cdot g'=\left(\begin{matrix} a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2} & a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1}\\ \(-a_{1}\cdot b_{2}-a_{2}\cdot b_{1} & a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2}\\ \end{matrix}\right)$

Jetzt können wir $c_{1}:= a_{1}\cdot b_{1}-a_{2}\cdot b_{2}$ und $c_{2}:= a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1}$
definieren. Jetzt wissen wir, dass $g\cdot g'\in G$ wahr ist und eine Verknüpfung vorliegt.

Autor

Stefan Hartmann

Das ist sehr beeindruckend gut und korrekt aufgeschrieben bis dahin, große Klasse! 👍👍👍

Webmaster

Katarina

$\underline{2. Teil Kommutativität beweisen}$
$\underline{2.1}$ Eine Verknüpfung heißt kommutativ, falls für je zwei Elemente $a,b\in M$ gilt, dass $a\circ b=b\circ a$ ist. So ist zu zeigen das $g\cdot g'=g'\cdot g$ ist.
Hierfür berechnen wir $g\cdot g' = \left(\begin{matrix} a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot (-b_{2}) & a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1}\\ \ -a_{2}\cdot b_{1}+a_{1}\cdot (-b_{2}) & a_{2}\cdot (- b_{2})+a_{1}\cdot b_{1}\\ \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} a_{1}\cdot b_{1} + a_{2}\cdot (-b_{2}) & a_{2}\cdot b_{1} + a_{1}\cdot b_{2}\\ \ a_{1}\cdot (-b_{2}) + (-a_{2})\cdot b_{1} & a_{2}\cdot (- b_{2}) + a_{1}\cdot b_{1}\\ \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} b_{1}\cdot a_{1} + b_{2}\cdot (-a_{2}) & b_{1}\cdot a_{2} + b_{2}\cdot a_{1}\\ \ (-b_{2})\cdot a_{1} + b_{1}\cdot (-a_{2}) & (-b_{2})\cdot a_{2} + b_{1}\cdot a_{1}\\ \end{matrix}\right) = g'\cdot g$

$\underline{2.2}$ Die erste Umformung lässt sich durch das Kommutativgesetz tätigen, in dem Fall angewandt auf die Addition. Hierbei wurden $a_{1}\cdot b_{2}$ und $a_{2}\cdot b_{1}$ miteinander vertauscht, so wie $-a_{2}\cdot b_{1}$ und $a_{1}\cdot (-b_{2})$ .
Die zweite Umformung lässt sich ebenfalls durch das Kommutativgesetz tätigen, in dem Fall angewandt auf die Multiplikation.

$\underline{2.3}$ Da wir durch Umformungen zeigen konnten, dass $g\cdot g'=g'\cdot g$ ist, ist bewiesen das die Matrizenmultiplikation eine Verknüpfung auf $G$ ist, die kommutativ ist.

Autor

Stefan Hartmann

Wieder sehr gut!!

Die Assoziativität wird noch etwas fieser… 😉

Autor

Stefan Hartmann

Allerdings muss man die Assoziativität für $G$ gar nicht zeigen. Hast du eine Idee, warum man es nicht zeigen muss? Beachte Proposition 2.3.6 und das bereits Gezeigte. 😇

Webmaster

Leona

Teil 1: Assoziativität der Verknüpfung

Da $G$ eine Teilmenge der $2\times2$ -Matrizen ist, vererbt sich die Assoziativität der Verknüpfung.

Teil 2: Kommutativität der Verknüpfung

Es ist zu zeigen, dass für alle $A, C\in G$ gilt $A\cdot C=C\cdot A$ . Seien also $A=\begin{pmatrix} a&b\\-b&a\end{pmatrix}$ und $C=\begin{pmatrix} c&d\\-d&c\end{pmatrix}$ zwei beliebige Matrizen aus $G$ .
Wir berechnen:

$A\cdot C=\begin{pmatrix} a&b\\-b&a\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} c&d\\-d&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ac-bd&ad+cb\\-cb-ad&ac-db\end{pmatrix}$

und

$C\cdot A=\begin{pmatrix} c&d\\-d&c\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a&b\\-b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ac-bd&ad+cb\\-cb-ad&ac-db\end{pmatrix}$

Teil 3: Es handelt sich um eine Verknüpfung auf $G$

Wir müssen beweisen, dass für alle $A,C\in G$ gilt $A\cdot C\in G$ . Wir betrachten wieder $A=\begin{pmatrix} a&b\\-b&a\end{pmatrix}$ und $C=\begin{pmatrix} c&d\\-d&c\end{pmatrix}$ zwei beliebige Matrizen aus $G$ . Wir haben schon gesehen

$A\cdot C=\begin{pmatrix}ac-bd&ad+cb\\-cb-ad&ac-db\end{pmatrix}$

Wir sehen $(AC)_{11}=(AC)_{22}$ und $(AC)_{21}=-(AC)_{12$ , also $AC\in G$ .

Teil 4: Neutrales Element

Das neutrale Element ist gegeben durch $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\in G$ . Dass es sich hierbei um ein neutrales Element für Matrizenmultiplikation handelt, wird wieder von den $2\times 2$ -Matrizen vererbt.

Teil 5: Gibt es eine Matrix $A\in G$ mit $A^2=-I_2$ ?

Sei $A=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\in G$ beliebig. Dann gilt

$A^2=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2-b^2&2ab\\-2ab&a^2-b^2\end{pmatrix}$

Wir suchen $a,b\in \mathbb{R}$ , sodass
1. $a^2-b^2=-1$
2. $2ab=-2ab=0$ .

Durch Auflösen kommen wir zu dem Ergebnis $a=0$ und $b=\pm 1$ . Die Matrizen $A_1=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ und $A_2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ haben also die gewünschte Eigenschaft.