04.08.202012.10.2020 von Stefan Hartmann

Aufgabe 1.5

Vorweg eine Definition: Sei $A=(a_{ij}) \in M_{nn}(\mathbb{K})$ . Die Spur von $A$ ist definiert als die Summe der Diagonalelemente von $A$ , also ${\rm Spur}(A)= \sum\limits_{i=1}^n a_{ii}$ .

Beweisen Sie folgende Aussagen:

1. Für alle $A, B \in M_{nn}(\mathbb{K})$ gilt ${\rm Spur}(A+B)= {\rm Spur}(A)+{\rm Spur}(B)$ .

2. Für alle $A \in M_{nn}(\mathbb{K})$ und alle $a \in \mathbb{K}$ gilt $\ {\rm Spur}(aA) = a\, {\rm Spur}(A)$ .

3. Für alle $A, B \in M_{nn}(\mathbb{K})$ gilt ${\rm Spur}(AB)= {\rm Spur}(BA)$ .

4. Es gibt keine quadratische Matrizen $A, B \in M_{nn}(\mathbb{R})$ , für die $AB-BA = I_n$ gilt.

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Katarina

Um die folgenden Beweise durchzuführen, nutzen wir die uns gegebene Definition einer Spur.

$\underline{Beweise}$
1. ${\rm Spur}(A+B)= \sum\limits_{i=1}^{n} (a_{ii}+b_{ii})= \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ii}+ \sum\limits_{i=1}^{n} b_{ii}={\rm Spur}(A)+{\rm Spur}(B)$
2. ${\rm Spur}(aA)= \sum\limits_{i=1}^{n} (a\cdot a_{ii})= a\cdot \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ii}=a {\rm Spur}(A)$
3. ${\rm Spur}(AB)= \sum\limits_{k=1}^{n} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ki}\cdot b_{ik}=\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{k=1}^{n} a_{ki}\cdot b_{ik}=\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{k=1}^{n} b_{ik}\cdot a_{ki}={\rm Spur}(BA)$

(1) $\begin{align*} {\rm Spur}(AB)-{\rm Spur}(BA)&\neq {\rm Spur}(I_n)\\ 0&\neq \sum\limits_{i=1}^{n} 1\\ 0&\neq n\\ \end{align*}$

$\underline{Begründungen}$
1. Hier können wir uns das Assoziativgesetz zu Nutze machen und $\sum\limits_{i=1}^{n} (a_{ii}+b_{ii})$ als $\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ii}+ \sum\limits_{i=1}^{n} b_{ii}$ aufschreiben.
2.Durch das Distributivgesetz können wir $a$ nach vorne ziehen.
3. Hier dürfen wir wegen des Kommutativgesetzes die Summenzeichen, sowie $a_{ki}$ und $b_{ik}$ miteinander vertauschen (wegen der Kommutativität der Multiplikation in einem Körper).
4. Wie wir in Teilaufgabe 3 bereits herausgefunden haben, ist ${\rm Spur}(AB)= {\rm Spur}(BA)$ und die Subtraktion somit 0. Die ${\rm Spur}(I_n)$ , ist n. In diesem Körper ist $n\neq 0$ .

Webmaster

Leona

Hallo Katarina,

sehr schöne Lösung! Tatsächlich ist das ohne weitere Bemerkungen für mich so perfekt.
Als stilistische Bemerkung finde ich die Trennung in Beweis und Begründung etwas ungewöhnlich (die Begründung gehört zum Beweis). Persönlich, bevorzuge ich es die Begründung unter die Gleichungen zu schreiben. Deine Variante ist aber auch schön leserlich und sehr verständlich! Sehr gut!

Beim zweiten Lesen fällt mir tatsächlich der Satz auf: In diesem Körper ist $n\neq 0$ . In welchem Körper arbeiten wir denn? Ich nehme an, das wir mit den reellen und/oder komplexen Zahlen arbeiten. Einfach konkret benennen (dann kann sich der Leser direkt von der Aussage überzeugen).
Liebe Grüße
Leona

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