20.10.202020.10.2020 von Stefan Hartmann

Aufgabe 1.10

Bestimmen Sie alle Matrizen $A \in M_{22}(\mathbb{R})$ , für die $A \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} A$ gilt.

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Katarina

1.1 Zu bestimmen sind alle Matrixen $A\in M_{22}\mathbb{(R)}$ , für die $A \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} A$ gilt.

1.2 Nun ergibt sich $A\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\cdot 1+ b\cdot 0 & a\cdot 1+ b\cdot 1 \\ c\cdot 1+ d\cdot 0 & c\cdot 1+ d\cdot 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & a+b \\ c & c+d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ c & d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\cdot a+ 1\cdot c & 1\cdot b+ 1\cdot d \\ 0\cdot a+ 1\cdot c & 0\cdot b+ 1\cdot d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}A$

1.3 Daraus folgt:
1. $a=a+c\Leftrightarrow c=0$
2. $a+b=b+d\Leftrightarrow a=d$
1.4 Es gilt für alle $A:=\begin{pmatrix} a & b\\ 0 & a\end{pmatrix}\in M_{22}\mathbb{(R)}$

Autor

Stefan Hartmann

Perfekt!! 👌

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