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Stefan HartmannAlexanderLeona Letzte Kommentartoren
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Alexander
Mitglied
Alexander

Teil 1:
Behauptung: Die Abbildung ist nicht surjektiv.
Beweis:
Es ist -2 \in Z. Es gibt aber kein z \in Z mit |z| = -2. Somit besitzt nicht jedes Element ein Urbild unter f, das heißt, die Abbildung ist nicht surjektiv.

Behauptung: Die Abbildung ist nicht injektiv.
Beweis:
-2 und 2 sind verschiedene Elemente in Z, für die f(-2) = f(2) = 2 gilt. Die 2 hat also zwei Urbilder in Z, somit kann die Abbildung nicht injektiv sein.

Leona
Webmaster
Leona

Hallo Alexander!

Zu Teil 1: Mir fehlt eine Begründung, {\textbf{warum}} es kein z\in\mathbb{Z} mit dieser Eigenschaft geben kann. Ein SAtz oder so sollte völlig ausreichend sein.

Der zweite Teil ist gut 🙂 Ein Tipp noch zu Tex: Benutze mathbb{Z} mit einem Backslash davor und im Mathemodus um die ganzen Zahlen zu schreiben. Sieht etwas schöner aus.

Sehr gute Lösung!
LG

Alexander
Mitglied
Alexander

Danke für die schnelle Rückmeldung! Ein z\inZ mit |z| = -2 kann es nicht geben wegen der Definition des Betrags (siehe Angabe), also |z| = z für alle z >= 0 und |z| = -z für alle z < 0. Würde das reichen?

Leona
Webmaster
Leona

Ja und nein. Ich glaube du meinst das Richtige. Natürlich liegt es an der Definition des Betrags, aber welche Eigenschaft hat der Betrag einer Zahl, die -2 nicht hat?

Alexander
Mitglied
Alexander

Er ist immer positiv, da er als Abstand zur 0 definiert ist. So? 🙂

Leona
Webmaster
Leona

Genau! Wenn ich jetzt ganz pingelig bin, müsste ich dir sagen, dass ich anstelle des Wortes positiv nichtnegativ bevorzugen würde.

Man kann es aber auch einfacher formulieren mit -2<0 und für jede beliebige ganze Zahl gilt f(z)=|z|\geq 0. Dann kann man auch keine falschen Begriffe verwenden.

Zur Erläuterung: positiv bzw. nichtnegativ sind beliebte Fallen. Es ist halt immer die Frage, wo man die 0 einordnet. Streng genommen ist doe 0 weder positiv noch negativ, d.h. (strikt) negative Zahlen sind echt kleiner Null und (strikt) positive Zahlen sind echt größer Null. Dazu im Vergleich sind nichtnegative Zahlen größer oder gleich Null. Ich passe bei der Verwendung dieser Wörter aber auch oft nicht genug auf…

Alexander
Mitglied
Alexander

Teil 2:
Wegen f(-3) = |-3| = 3, f(-2) = |-2| = 2, f(-1) = |-1| = 1, f(0) = |0| = 0, f(1) = |1| = 1, f(2) = |2| = 2 und f(3) = |3| = 3 ist f(U) = {0, 1, 2, 3}
Die Menge der Urbilder von f(U) unter f ist U = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, da 0 = |0| und 1 = |-1| = |1| und 2 = |-2| = |2| und 3 = |-3| = |3|.

Leona
Webmaster
Leona

Sehr gut! Keine weiteren Kommentare vo meiner Seite 🙂 Höchstens eine weiterführende Frage: Kannst du eine Menge V finden sodass die Menge der Urbilder von f(V) ungleich V ist? Kann ich für jede Funktion eine solche Menge V finden?

Alexander
Mitglied
Alexander

Eine solche Menge wäre beispielsweise V = {1, 2, 3}, denn f(V) ={1, 2, 3}, die Urbilder von f(V) unter f aber {-1, -2, -3, 1, 2, 3} -> die Menge der Urbilder f(V) und die Menge f sind nicht gleich. Für injektive Abbildungen kann ich grundsätzlich solche Mengen nicht finden, da jedem Bild nur ein einziges Urbild zugeordent ist.

Leona
Webmaster
Leona

Sehr gut! Das war alles, was ich „hören“ wollte 🙂

Alexander
Mitglied
Alexander

Freut mich! 🙂 Danke!

Alexander
Mitglied
Alexander

Teil 3:
Ein beliebiges v \in V hat genau dann ein Urbild unter f, wenn v \geq \ 0 ist, da
f(w) = v = |w| \geq \ 0 gilt.
Daraus folgt:
Die Elemente v = -15 und v = -10 haben keine Urbilder unter f wegen -15<0 und -10<0.
Da 0 = |0|,  10 = |10| = |-10| und 15 = |15| = |-15| gilt, ist die Menge der Urbilder unter f (W) := {-15, -10, 0, 10, 15}.
Wegen f(-15) = |-15| = 15, f (-10) = |-10| = 10, f(0) = |0| = 0, f(10) = |10| = 10 und f(15) = |15| = 15 ist f(W) := {0, 10, 15}.