Sei 
definiert durch 
für alle 
. Dabei ist 
, falls 
, und 
, als 
.
1. Untersuchen Sie, ob 
surjektiv beziehungsweise injektiv ist.
2. Sei 
. Bestimmen Sie 
, und bestimmen Sie die Menge der Urbilder der Elemente in 
.
3. Sei 
. Sei 
die Menge der Urbilder der Elemente in 
unter . Bestimmen Sie die Elemente in und in 
.
Teil 1:
Z. Es gibt aber kein z 
Z mit |z| = -2. Somit besitzt nicht jedes Element ein Urbild unter f, das heißt, die Abbildung ist nicht surjektiv.
Behauptung: Die Abbildung ist nicht surjektiv.
Beweis:
Es ist -2
Behauptung: Die Abbildung ist nicht injektiv.
Beweis:
-2 und 2 sind verschiedene Elemente in Z, für die f(-2) = f(2) = 2 gilt. Die 2 hat also zwei Urbilder in Z, somit kann die Abbildung nicht injektiv sein.
Hallo Alexander!
Zu Teil 1: Mir fehlt eine Begründung, {\textbf{warum}} es kein
mit dieser Eigenschaft geben kann. Ein SAtz oder so sollte völlig ausreichend sein.
Der zweite Teil ist gut 🙂 Ein Tipp noch zu Tex: Benutze mathbb{Z} mit einem Backslash davor und im Mathemodus um die ganzen Zahlen zu schreiben. Sieht etwas schöner aus.
Sehr gute Lösung!
LG
Danke für die schnelle Rückmeldung! Ein
mit |z| = -2 kann es nicht geben wegen der Definition des Betrags (siehe Angabe), also |z| = z für alle z >= 0 und |z| = -z für alle z < 0. Würde das reichen?
Ja und nein. Ich glaube du meinst das Richtige. Natürlich liegt es an der Definition des Betrags, aber welche Eigenschaft hat der Betrag einer Zahl, die -2 nicht hat?
Er ist immer positiv, da er als Abstand zur 0 definiert ist. So? 🙂
Genau! Wenn ich jetzt ganz pingelig bin, müsste ich dir sagen, dass ich anstelle des Wortes positiv nichtnegativ bevorzugen würde.
Man kann es aber auch einfacher formulieren mit
und für jede beliebige ganze Zahl gilt 
. Dann kann man auch keine falschen Begriffe verwenden.
Zur Erläuterung: positiv bzw. nichtnegativ sind beliebte Fallen. Es ist halt immer die Frage, wo man die
einordnet. Streng genommen ist doe 
weder positiv noch negativ, d.h. (strikt) negative Zahlen sind echt kleiner Null und (strikt) positive Zahlen sind echt größer Null. Dazu im Vergleich sind nichtnegative Zahlen größer oder gleich Null. Ich passe bei der Verwendung dieser Wörter aber auch oft nicht genug auf…
Teil 2:
Wegen f(-3) = |-3| = 3, f(-2) = |-2| = 2, f(-1) = |-1| = 1, f(0) = |0| = 0, f(1) = |1| = 1, f(2) = |2| = 2 und f(3) = |3| = 3 ist f(U) = {0, 1, 2, 3}
Die Menge der Urbilder von f(U) unter f ist U = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, da 0 = |0| und 1 = |-1| = |1| und 2 = |-2| = |2| und 3 = |-3| = |3|.
Sehr gut! Keine weiteren Kommentare vo meiner Seite 🙂 Höchstens eine weiterführende Frage: Kannst du eine Menge
finden sodass die Menge der Urbilder von 
ungleich 
ist? Kann ich für jede Funktion eine solche Menge 
finden?
Eine solche Menge wäre beispielsweise V = {1, 2, 3}, denn f(V) ={1, 2, 3}, die Urbilder von f(V) unter f aber {-1, -2, -3, 1, 2, 3} -> die Menge der Urbilder f(V) und die Menge f sind nicht gleich. Für injektive Abbildungen kann ich grundsätzlich solche Mengen nicht finden, da jedem Bild nur ein einziges Urbild zugeordent ist.
Sehr gut! Das war alles, was ich „hören“ wollte 🙂
Freut mich! 🙂 Danke!
Teil 3:
hat genau dann ein Urbild unter 
, wenn 
ist, da
gilt.
und 
haben keine Urbilder unter 
wegen 
und 
.
und 
gilt, ist die Menge der Urbilder unter 
(W) := {-15, -10, 0, 10, 15}.
und 
ist 
(W) := {0, 10, 15}.
Ein beliebiges
Daraus folgt:
Die Elemente
Da
Wegen
Das ist alles richtig, sehr gut! 👍
Vielen Dank! 🙂
1.
kein Urbild in f geben kann, weil ein Betrag nie negativ sein kann. Dadurch gibt es nicht zu jedem 
ein Urbild und die Abbildung ist nicht surjektiv.
zwei Urbilder (
und 
)in f gibt.
Die Abbildung ist nicht surjektiv, da es zu
Die Abbildung ist nicht injektiv, da es zu
2.
, da 
Die Menge der Urbilder ist aus den gleichen Gründen
3.
hat kein Urbild unter f, davon sind 
und 
betroffen. 
, also 
, also 
Jedes Element
Das ist vollständig richtig und sehr gut aufgeschrieben, super! 🙂