Aufgabe 1.12

Sei $\mathbb{K}$ ein Körper, und sei $A \in M_{nn}(\mathbb{K})$ eine Matrix, so dass $AB=BA$ für alle $B \in M_{nn}(\mathbb{K})$ gilt. Beweisen Sie, dass $A = aI_n$ für ein $a \in \mathbb{K}$ ist.

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Webmaster

Katarina

1.1 Zu zeigen ist, dass aus $AB=BA=C=[c_{ij}]$ folgt, dass $A=aI_n$ für ein $a\in K$ ist. Dabei ist
$B\left(\begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n1} & \dots & b_{nn} \end{matrix}\right)= [b_{ij}]$ und $A=\left(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right)= [a_{ij}]$
1.2 Sei $b_{ii}=1$ und die restlichen Koeffizienten von $B$ sind gleich 0, so ergibt sich $c_{ij}$ als $a_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n} b_{ik}a_{kj}=b_{i1}\cdot a_{1j}+b_{i2}\cdot a_{2j}+\dots+b_{in}\cdot a_{nj}=c_{ij}a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+\dots+a_{in}\cdot b_{nj}=\sum\limits_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}= 0$

1.3 Sei $b_{ij}=1$ (dabei ist $i\neq j$ ) und die restlichen Koeffizienten von $B$ sind gleich O, so ergibt sich das Diagonalelement $c_{ii}$ als
$a_{ii}=\sum\limits_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}&=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+\dots+a_{in}\cdot b_{nj}\\=c_{ij}=b_{i1}\cdot a_{1j}+b_{i2}\cdot a_{2j}+\dots+b_{in}\cdot a_{nj}=\sum\limits_{k=1}^{n} b_{ik}a_{kj}&=a_{jj}$
1.4 Aus $a_{ii}=a_{jj}$ und $a_{ij}=0$ , folgt dass $A=aI_n$

Autor

Stefan Hartmann

1.2 ist grundsätzlich richtig, aber die Reihenfolge in der Gleichung ist etwas unlogisch. Man sollte besser ganz links das hinschreiben, von dem man etwas zeigen will und ganz rechts da, was rauskommen soll:

$a_{ij} = \sum\limits_{k=1}^n b_{ik}a_{kj} =c_{ij} = \sum\limits_{k=1}^n a_{ik} b_{kj} =0$ ,