Aufgabe 1.13

Man sagt, dass eine Matrix eine Nullzeile besitzt, wenn es eine Zeile gibt, die ausschließlich aus Nullen besteht. Analog wird eine Nullspalte einer Matrix definiert.

Seien $A$ und $B$ beliebige Matrizen, für die $AB$ definiert ist.

Wahr oder falsch? Begründe jeweils kurz.

(1) Wenn $A$ eine Nullzeile hat, dann hat $AB$ eine Nullzeile.

(2) Wenn $B$ eine Nullzeile hat, dann hat $AB$ eine Nullzeile.

(3) Wenn $AB$ eine Nullzeile hat, dann hat $A$ eine Nullzeile.

(4) Wenn $AB$ eine Nullzeile hat, dann hat $B$ eine Nullzeile.

(5) Wenn $AB$ eine Nullzeile hat, dann hat $A$ oder $B$ eine Nullzeile.

(6) Wenn $A$ eine Nullspalte hat, dann hat $AB$ eine Nullspalte.

(7) Wenn $B$ eine Nullspalte hat, dann hat $AB$ eine Nullspalte.

(8) Wenn $AB$ eine Nullspalte hat, dann hat $A$ eine Nullspalte.

(9) Wenn $AB$ eine Nullspalte hat, dann hat $B$ eine Nullspalte.

(10) Wenn $AB$ eine Nullspalte hat, dann hat $A$ oder $B$ eine Nullspalte.

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Autor

Stefan Hartmann

(1) ist wahr, denn ist $A=(a_{ij})_{i=1,\ldots,n ;j=1,\ldots,m}$ mit $a_{i_0j}=0$ für ein $i_0 \in \{1,.\ldots,n\}$ und alle $j \in \{1,\ldots,m\}$ sowie $B=(b_{jk})_{j=1,\ldots,m; k=1,\ldots,l}$ , so folgt für $C=(c_{ik})_{i=1,\ldots,n ;k=1,\ldots,l}$ mit $C=A\cdot B$ :

$c_{i_0k} = \sum\limits_{j=1}^m \underbrace{a_{i_0j}}_{=0} \cdot b_{jk} = 0$ für alle $k \in \{1,\ldots,l\}$ .

(2) ist falsch, Gegenbeispiel:

$A=\left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right)$ , $B=\left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right)$ ; dann ist

$A \cdot B = \left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right)$ .

(3), (4), (5), (8), (9) und (10) sind alle falsch und lassen sich durch das folgende Gegenbeispiel widerlegen:

$A=\left(\begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{matrix}\right)$ , $B=\left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right)$ ; dann ist

$A \cdot B = \left(\begin{matrix} 0 & 0 \\0 & 0 \end{matrix}\right)$ .

(6) ist falsch; Gegenbeispiel:

$A=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)$ , $B=\left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right)$ ; dann ist

$A \cdot B = \left(\begin{matrix} 1 & 1 \\1 & 1 \end{matrix}\right)$ .

(7) ist wahr, denn ist $A=(a_{ij})_{i=1,\ldots,n ;j=1,\ldots,m}$ sowie $B=(b_{jk})_{j=1,\ldots,m; k=1,\ldots,l}$ mit $b_{jk_0}=0$ für ein $k_0 \in \{1,\ldots,l\}$ und alle $j \in \{1,\ldots,m\}$ , so folgt für $C=(c_{ik})_{i=1,\ldots,n ;k=1,\ldots,l}$ mit $C=A\cdot B$ :

$c_{ik_0} = \sum\limits_{j=1}^m a_{ij} \cdot \underbrace{b_{jk_0}}_{=0} = 0$ für alle $i \in \{1,\ldots,n\}$ .

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