20.10.202014.08.2021 von Stefan Hartmann

Aufgabe 1.15

Sei $A= \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 6&7&8&9&10 \\ 0&0&1&0&0 \end{pmatrix} \in M_{35}(\mathbb{R})$ .

Berechnen Sie eine $3 \times 3$ -Matrix $S$ , so dass $SA= \begin{pmatrix} 6&7&0&9&10 \\ 1&2&0&4&5 \\ 0&0&1&0&0 \end{pmatrix}$ ist.

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Webmaster

Katarina

$\underline{1.1}$
Zu zeigen ist, dass es eine Matrix $S$ gibt, so dass $SA= \begin{pmatrix} 6&7&0&9&10 \\ 1&2&0&4&5 \\ 0&0&1&0&0 \end{pmatrix}$ , dabei ist $S:= \begin{pmatrix} s_{11} & s_{12} & s_{13} \\ s_{21} &s_{22} & s_{23}\\ s_{31} & s_{32} & s_{33}\end{pmatrix}$ und $A:=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5 \\ 6&7&8&9&10 \\ 0&0&1&0&0 \end{pmatrix}$

$\underline{1.2}$
$SA=\begin{pmatrix} s_{11} & s_{12} & s_{13} \\ s_{21} &s_{22} & s_{23}\\ s_{31} & s_{32} & s_{33}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&2&3&4&5 \\ 6&7&8&9&10 \\ 0&0&1&0&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} s_{11} + s_{12}\cdot 6 & s_{11}\cdot 2 + s_{12}\cdot 7 & s_{11}\cdot 3 + s_{12}\cdot 8 + s_{13} & s_{11}\cdot 4 + s_{12}\cdot 9 & s_{11}\cdot 5 + s_{12}\cdot 10 \\ s_{21} + s_{22}\cdot 6 & s_{21}\cdot 2 + s_{22}\cdot 7 & s_{21}\cdot 3 + s_{22}\cdot 8 + s_{23} & s_{21}\cdot 4 + s_{22}\cdot 9 & s_{21}\cdot 5 + s_{22}\cdot 10 \\ s_{31} + s_{32}\cdot 6 & s_{31}\cdot 2 + s_{32}\cdot 7 & s_{31}\cdot 3 + s_{32}\cdot 8 + s_{33} & s_{31}\cdot 4 + s_{32}\cdot 9 & s_{31}\cdot 5 + s_{32}\cdot 10 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6&7&0&9&10 \\ 1&2&0&4&5 \\ 0&0&1&0&0 \end{pmatrix}$

$\underline{1.3}$
Daraus folgt, dass
1. $s_{31} + s_{32}\cdot 6=0\Leftrightarrow s_{31}=-6\cdot s_{32}$
2. $s_{31}\cdot 2 + s_{32}\cdot 7=0\Leftrightarrow s_{32}\cdot (-12)+s_{32}\cdot 7=0\Leftrightarrow s_{32}=0$ , damit folgt aus der 1.Gleichung $s_{31}=s_{32}\cdot (-6)=0$
3. $s_{31}\cdot 3 + s_{32}\cdot 8 + s_{33}\Leftrightarrow s_{33}=1$
4. $s_{11} + s_{12}\cdot 6 =6\Leftrightarrow s_{11}=6-s_{12}\cdot 6$
5. $s_{11}\cdot 2 + s_{12}\cdot 7\Leftrightarrow 12-s_{12}\cdot 12 + s_{12}\cdot 7=-5\Leftrightarrow s_{12}\cdot (-5)=-5\Leftrightarrow s_{12}=1$ Damit ist $s_{11}=6-s_{12}\cdot 6=6-1\cdot 6=0$
6.
$s_{11}\cdot 3 + s_{12}\cdot 8+ s_{13}=0\Leftrightarrow s_{13}=0-(s_{11}\cdot 3 + s_{12}\cdot 8)\Leftrightarrow s_{13}=0-(0\cdot 3 + 1\cdot 8)\Leftrightarrow s_{13}=-8$
7. $s_{21} + s_{22}\cdot 6=1\Leftrightarrow s_{21}=1-s_{22}\cdot 6$
8. $s_{21}\cdot 2 + s_{22}\cdot 7=2\Leftrightarrow 2-s_{22}\cdot 12+s_{22}\cdot 7=2\Leftrightarrow s_{22}\cdot (-5)=0\Leftrightarrow s_{22}=0$ Nun ist $s_{21}=1-s_{22}\cdot 6= 1-0\cdot 6=1$
9. $s_{21}\cdot 3 + s_{22}\cdot 8+s_{23}=0\Leftrightarrow 3+0+s_{23}=0\Leftrightarrow s_{23}=-3$

$\underline{1.4}$
Daraus folgt, dass $S=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -8 \\ 1 & 0 & -3\\ 0 &0 &1\end{pmatrix}$

Autor

Stefan Hartmann

Liebe Katarina, das hast du vorbildlich gerechnet! ✌️😍 Man kann die Matrix $S$ übrigens auch (fast) ohne Rechnung ermitteln. Wie kommt man von $A$ auf $SA$ ? Die letzte Zeile bleibt unverändert. Daher ist die letzte Zeile von $S$ einfach $(0,0,1)$ . Aus der ersten Zeile von $A$ wird die zweite Zeile von $A$ minus das Achtfache der dritten Zeile. Daher ist die erste Zeile von $S$ logischerweise $(0 ,1 ,-8)$ . Und aus die zweiten Zeile von $A$ wird in die erste Zeile geschoben, minus das Dreifache der dritten Zeile. Daher ist die zweite Zeile von $S$ einfach $(1,0 ,-3)$ . Solche (so ähnliche) Matrizen werden dir beim Gauß-Algorithmus (LR-Zerlegung) wieder begegnen. 😀

Webmaster

Katarina

Vielen Dank für das Feedback 😊

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