20.10.202020.10.2020 von Stefan Hartmann

Aufgabe 1.16

Sei $\mathbb{K}$ ein Körper. Sei $f: M_{22}(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ definiert durch $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \to a+d$ für alle $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{22}(\mathbb{K})$ . Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen:

1. Die Abbildungen $f$ ist surjektiv.

2. Die Abbildung $f$ ist injektiv.

3. Für alle $A, B \in M_{22}(\mathbb{K})$ gilt $f(A+B) = f(A) + f(B)$ .

4. Für alle $A\in M_{22}(\mathbb{K})$ und alle $a \in \mathbb{K}$ gilt $f(aA) = af(A)$ .

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Webmaster

Katarina

1.1 $\underline{{\rm Zu\ zeigen}}$ : Für alle $k\in \mathbb{K}$ gibt es ein $m\in M_{22}(\mathbb{K})$ mit $f(m)=k$ .
Wir definieren $m:=\left(\begin{matrix} k & 1\\ 1 & 0 \end{matrix}\right)$ . Dann gilt $f(m)=k+0=k$ , was zu zeigen war. Somit ist die Surjektivität für diese Abbildung bewiesen.

Autor

Stefan Hartmann

Perfekt, sehr gut! 👍 Edit: Ich muss doch eine Sache korrigieren: Nicht „es gibt ein beliebiges $k\in K$ , so dass… , sondern: „für alle $k\in K$ gibt es ein…“ oder (etwas schlechter, aber korrekt) „für ein beliebiges $k\in K$ gibt es ein…“

Webmaster

Katarina

Habe es jetzt verbessert, danke.

Webmaster

Katarina

Zu zeigen ist, dass die Abbildung f nicht injektiv ist. Injektivität bedeutet, dass zu jedem $k\in \mathbb{K}$ höchstens ein $M\in M_{22}(\mathbb{K})$ existiert mit $f(M)=k$ .

Sei $k=4$ , so existieren zu $k$ zwei Matrizen $M,G\in M_{22}(\mathbb{K})$ .
$M=\left(\begin{matrix} 3 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right) G=\left(\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 3\end{matrix}\right)$

So ist $f(M)=4$ und $f(G)=4$ , das heißt, dass zum Element $4\in \mathbb{K}$ mindestens zwei verschiedene Elemente aus $M_{22}(\mathbb{K})$ gibt. Somit liegt keine Injektivität vor.

Autor

Stefan Hartmann

Sehr gut! ✌️Du müsstest nur noch ein $m$ durch ein $M$ ersetzen (Flüchtigkeitsfehler).

Webmaster

Katarina

1.1 Zu zeigen ist, dass für alle $A,B\in M_{22}(\mathbb{K})$ gilt $f(A+B)=f(A)+f(B)$ , dabei ist $A:=\begin{pmatrix} a _{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ und $B:=\begin{pmatrix} b _{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}.$
1.2 So ist $f(A+B)=f(\begin{pmatrix} a _{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} b _{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} a_{11}+b _{11} & a_{12}+b_{12}\\a_{21}+ b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix}=a_{11}+b_{11}+a_{22}+b_{22}=a_{11}+a_{22}+b_{11}+b_{22}=f(\begin{pmatrix} a _{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix})+f(\begin{pmatrix} b _{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix})=f(A)+f(B)$
1.3 So ist bewiesen, dass $f(A+B)=f(A)+f(B)$ für alle $A,B\in M_{22}(\mathbb{K})$ gilt.

Autor

Stefan Hartmann

Perfekt! 👍

Autor

Stefan Hartmann

Teil 4 (kopiert von Katarina und in Zusammenarbeit mit ihr):
1.1 Zu zeigen ist, dass für alle $A \in M_{22}(\mathbb{K})$ und $a \in \mathbb{K}$ gilt $f(aA)=af(A)$ , dabei ist $A:=\begin{pmatrix} a _{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ .
1.2 So ist $f(a\cdot A)=f\left(\begin{matrix} a\cdot a _{11} & a\cdot a_{12}\\ a \cdot a_{21} & a \cdot a_{22} \end{matrix} \right) =a \cdot a_{11}+a \cdot a_{22}= a \cdot ( a_{11} + a_{22})$
$= a \cdot f\left (\begin{matrix} a _{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}\right)$
1.3 So ist bewiesen, dass $f(aA)=af(A)$ für alle $A\in M_{22}(\mathbb{K})$ und $a \in \mathbb{K}$ gilt.

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