Aufgabe 1.17

1. Beweisen Sie: Wenn eine quadratische Matrix $A \in M_{nn}(\mathbb{K})$ eine Zeile oder Spalte enthält, die nur aus Nullen besteht, dann ist $A$ nicht invertierbar.

2. Geben Sie ein Beispiel für eine Matrix $A \in M_{22}(\mathbb{R})$ , deren Einträge alle $\ne 0$ sind, und die nicht invertierbar ist. Wie in der Mathematik üblich, müssen Sie begründen, warum $A$ nicht invertierbar sein kann.

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Webmaster

Katarina

$\underline{Behauptung}$
$\underline{1.1.1}$ Sei $A\in M_{nn}(\mathbb{K})$ , so gilt $AB=BA=I_{ij}=[i_{ij}]$

$A=\left(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right)= [a_{ij}] B=\left(\begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n1} & \dots & b_{nn} \end{matrix}\right)= [b_{ij}]$

$\underline{Beweis}$
$\underline{1.1.2}$ Sei die i-te Zeile von A eine Nullzeile.

Allgemein ergeben sich die Koeffizienten von $I_n$ , bei $AB$ als
$i_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+\dots+a_{in}\cdot b_{nj}$
Das Diagonalelement $i_{ii}$ ergibt sich nun bei $AB$ als

(1) $\begin{align*} i_{ii}=\sum\limits_{k=1}^{n} a_{ik}b_{ki}&=a_{i1}\cdot b_{1i}+a_{i2}\cdot b_{2i}+\dots+a_{in}\cdot b_{ni}\\ &=0\cdot b_{1i}+0\cdot b_{2i}+\dots+0\cdot b_{ni}\\ &=0 \end{align*}$

Da nun die Koeffizienten auf der Hautdiagonale von $I_n$ , alle eins entsprechen auch $i_{ii}$ , haben wir einen Widerspruch herbeigeführt, denn in jedem Körper gilt $1\neq 0$ .
Nun haben wir unsere Behauptung widerlegt.

Webmaster

Katarina

$\underline{Behauptung}$
$\underline{1.2.1}$ Sei $A\in M_{nn}(\mathbb{K})$ , so gilt $BA=AB=I_{ij}=[i_{ij}]$

$\underline{Beweis}$
$\underline{1.2.2}$ Sei die j-te Spalte von A eine Nullspalte.

Allgemein ergeben sich die Koeffizienten von $I_n$ , bei $BA$ als
$i_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n} b_{ik}a_{kj}=b_{i1}\cdot a_{1j}+b_{i2}\cdot a_{2j}+\dots+b_{in}\cdot a_{nj}$
Das Diagonalelement $i_{jj}$ ergibt sich nun bei $BA$ als

(1) $\begin{align*} i_{jj}=\sum\limits_{k=1}^{n} b_{jk}a_{kj}&=b_{j1}\cdot a_{1j}+b_{j2}\cdot a_{2j}+\dots+b_{jn}\cdot a_{nj}\\ &=b_{j1}\cdot 0+b_{j2}\cdot 0+\dots+b_{jn}\cdot 0\\ &=0 \end{align*}$

Da nun die Koeffizienten auf der Hautdiagonale von $I_n$ , alle eins entsprechen auch $i_{jj}$ , haben wir einen Widerspruch herbeigeführt, denn in jedem Körper gilt $1\neq 0$ .
Nun haben wir unsere Behauptung widerlegt.

Autor

Stefan Hartmann

Absolut perfekt und super aufgeschrieben!👍 Nur ein kleiner LaTeX-Fehler bzw. besser Copy&Paste-Fehler: in beiden Fällen, in denen du die Matrix $B$ definiert, bezeichnest du die Koeffizienten wie kleinen $a$ s (und nicht mit $b$ s). Vielleicht willst du das noch verbessern. 😊

Vielleicht noch folgendes: Du schreibst: „Nun haben wir unsere Behauptung widerlegt“. Du meinst aber etwas anderes und das sollte man anders aufschreiben. Du meinst: „Nun haben wir unsere Annahme, es gäbe eine Matrix $B$ mit $AB=I_n$ , widerlegt. Daraus folgt , dass $A$ nicht invertierbar ist.“ Dazu solltest du diese Annahme vorher auch formulieren. Das sind Feinheiten, aber du solltest das trotzdem bitte beachten.

Webmaster

Katarina

2.1 $\underline{Definition}$
Als invertierbar gilt eine Matrix A, falls es eine Kehrmatrix B gibt, so dass gilt: $BA=AB=I_2$ (in dem Fall $I_2$ , allgemein $I_n$ )
2.2 $\underline{Annahme}$
Sei $A=\left\begin{pmatrix} 1 & 1\\2 & 2\end{pmatrix}\right$ und $B=\left\begin{pmatrix} b_1 & b_2\\ b_3 & b_4\\ \end{pmatrix}\right$ , so gibt es eine Matrix $B$ , dass gilt:
$BA=AB=\left\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & 2\end{pmatrix}\right\cdot \left\begin{pmatrix} b_1 & b_2\\ b_3 & b_4\end{pmatrix}\right= \left\begin{pmatrix} 1\cdot (b_1+b_3) & 1\cdot(b_2+b_4)\\ 2\cdot (b_1+b_3) & 2\cdot (b_2+b_4)\end{pmatrix}\right=\left\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\right=I_2$
2.3 $\underline{Beweis}$
Laut unserer Annahme, muss $1\cdot (b_1+b_3)=2\cdot (b_2+b_4)=1$ und $1\cdot(b_2+b_4)=2\cdot (b_1+b_3)=0$ sein.

So muss $2\cdot (b_2+b_4)=2\cdot 1\cdot (b_2+b_4)=1=2\cdot 0$

$1=2\cdot 0$ ist eine falsche Aussage, da in jedem Körper gilt: $a\cdot 0=0$ .
Somit haben wir unserer Annahme es gäbe eine Matrix $B$ mit $BA=AB=I_2$ widerlegt. Daraus folgt, dass $A$ nicht invertierbar ist.

Autor

Stefan Hartmann

Grundsätzlich alles richtig, prima, aber hier ein paar Feinheiten: 1. Es ergibt keinen Sinn, die Koeffizienten der Matrix erst zu bezeichnen (in einem Moment, in dem man noch gar nicht weiß, was sein soll bzw. warum es plötzlich erscheint) und sie dann erst einzuführen durch: …so gibt es eine Matrix , dass… Es wäre besser, die Einträge der Matrix erst dann genauer zu bezeichnen, sobald du sie einführst. Also: Es sei . Wir nehmen an, es gäbe eine Matrix mit…. 2. Es ergibt keinen Sinn die Annahme, die du widerlegen willst. außerhalb des Beweises zu formulieren. Bei einem Beweis durch Widerspruch ist die zu widerlegende Annahme Teil des Beweises. Natürlich kannst du den Beweis strukturieren, das ist sehr schön. Dann wäre 2.2. die Behauptung, 2.3 der Beweis, 2.3.1 die Annahme und 2.3.2 die Widerlegung der Annahme. Man muss das nicht so machen und es ist unüblich, aber in deinem Stadium des Studiums 😊 finde ich diese explizite Strukturierung durchaus gut und sinnvoll. Dann muss sie aber auch konsistent sein. 3. Du rechnest hier ja explizit über . Da muss du eigentlich nicht mit allgemeinen Körperaxiomen hantieren, sondern kannst einfach schreiben: , Widerspruch. Wenn man die allgemeinen Körpereigenschaften einbringen will (was,… Read more »