Aufgabe 1.7

Wahr oder falsch? Begründe jeweils kurz.

(1) Wenn $X$ eine echte Teilmenge einer Menge $Y$ ist (d.h. $X \subseteq Y$ , aber $X \ne Y$ ), dann gibt es keine bijektive Abbildung von $X$ nach $Y$ .

(2) Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen, und ist $\vert X \vert > \vert Y\vert$ , so ist jede Abbildung von $X$ nach $Y$ surjektiv.

(3) Ist $X$ eine endliche Menge, so gibt es keine bijektive Abbildung von $X$ nach $X \times X$ .

(4) Invers zu $\begin{pmatrix}1&3 \\ 1 & 4 \end {pmatrix}$ ist $\begin{pmatrix}4&-3 \\ -1 & 1 \end {pmatrix}$ .

(5) Sei $X$ eine Menge, und seien $f:X \to Y$ und $g:Y \to X$ Abbildungen. Dann gilt ${\rm Bild}(g \circ f) \subseteq {\rm Bild}(g)$ .

(6) Seien $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x)=x^2$ und $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x)=x^3$ für alle $x \in \mathbb{R}$ . Dann gilt $(f \circ g)(x)=x^5$ für alle $x \in \mathbb{R}$ .

(7) Sei $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}_0$ , $f(x)=x-1$ für alle $x \in \mathbb{N}$ , und sei $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ , $g(x)=x+1$ für alle $x \in \mathbb{N}$ . Dann ist $f \circ g$ definiert, und $(f \circ g)(x)=x$ für alle $x \in \mathbb{N}$ .

(8) Seien $X$ und $Y$ Mengen, und sei $\vert X \times Y\vert = p$ , wobei $p$ eine Primzahl ist. Dann enthält $X$ oder $Y$ genau ein Element.

(9) Seien $X$ und $Y$ Mengen. Wenn $X \cup Y = X \cap Y$ , so folgt $X=Y$ .

(10) Seien $L, \, M, \, N$ Mengen. Dann gilt $L \times (M \times N)= (L \times M) \times N$ .

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Mitglied

Alexander

Teil 1:
Die Aussage ist wahr.
Beweis:
(1) Aus „X ist eine echte Teilmenge von Y“ folgt: |X| < |Y|
(2) Da in einer Abbildung jedes Element einer Menge nur ein Bild unter f besitzt, kann wegen (1) nicht jedes Element aus Y ein Urbild in X unter f besitzen.
Es folgt: Nicht jedes Element aus Y liegt im Bild von f. Die Abbildung ist folglich nicht surjektiv und damit auch nicht bijektiv.

Autor

Stefan Hartmann

Du solltest über deinen Beweis noch einmal nachdenken. 😉 Wo steht, dass $|X|$ endlich ist? Funktioniert dein Beweis auch für unendliche Mengen?

Mitglied

Alexander

Oh, danke, das habe ich übersehen. Überarbeite ich morgen nochmal. 😉

Mitglied

Alexander

Er funktioniert dann natürlich nicht.
Ein Gegenbeispiel wäre, wenn X := N und Y:= Z. X ist echte Teilmenge von Z, aber |X| = |Y|, da beide Mengen die gleiche Mächtigkeit besitzen. Folglich funktionieren auch bijektive Abbildungen.

Autor

Stefan Hartmann

Ja, genau. 😊

Mitglied

Alexander

Teil 2:
Die Aussage ist falsch.

Wir widerlegen die Aussage durch ein Gegenbeispiel:
Es sei X := { $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ } und Y := { $y_1, y_2$ }. Für alle $x_i\in X$ sei $f (x_i) = y_1$ .
Dann liegt $y_2$ nicht im Bild von X unter $f$ und ist folglich nicht surjektiv.

Autor

Stefan Hartmann

Richtig. 👍

Mitglied

Alexander

Teil 3:
Die Aussage ist falsch.
Wir widerlegen die Aussage durch ein Gegenbeispiel:
Es sei X := { $x_1$ }. Dann ist die Produktmenge $X \times X$ := { $(x_1, x_1)$ }. Ferner sei $f(x_i) = (x_i, x_i)$ , weshalb $f(x_1) = (x_1, x_1)$ ist.
Hieraus folgt: Die Abbildung ist surjektiv, weil das einzige Element aus $X \times X$ , nämlich $(x_1, x_1)$ , im Bild von $f$ liegt und somit jedes Element aus $X \times X$ ein Urbild unter $f$ in $X$ besitzt.
Des Weiteren folgt: $f$ ist injektiv, weil das einzige Bild $(x_1, x_1)$ aus $X \times X$ genau ein Urbild unter $f$ besitzt, und zwar $x_1 \in X$ .
Es folgt: Die Abbildung ist surjektiv und injektiv und damit bijektiv.

Autor

Stefan Hartmann

Sehr gut, dass du das gesehen hast. Es ist tatsächlich nur für Mengen $X$ mit $|X|=1$ falsch, aber daran muss man halt erst einmal denken. 😊

Mitglied

Alexander

Danke 🙂

Mitglied

Alexander

Teil 8:
Die Aussage ist wahr.
Da |X x Y| = |X| x |Y| = p gilt, kann es nur zwei Fälle geben:
Fall 1: |X| = 1 und |Y| = p
Fall 2: |X| = p und |Y| = 1
Begründung: Eine Primzahl p ist nur durch 1 und sich selbst teilbar, deshalb ist nur $1 \cdot p = p$ oder $p \cdot1 = p$ wahr.

Autor

Stefan Hartmann

Perfekt! 😇

Mitglied

Alexander

Danke für die Rückmeldung!

Mitglied

Alexander

Teil 6:
Die Aussage ist falsch.
Nach Aufgabenstellung gilt für alle $x \in R$ :
$(f \circ g)(x) = f(g(x) = f(x^3) = (x^3)^2 = x^6$
Da $x^6 \neq x^5$ ist, ist die Aussage falsch.

Autor

Stefan Hartmann

Ja, richtig, wobei du präziser schreiben musst, dass nicht für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt, dass $x^5=x^6$ , oder dass es $x\in \mathbb{R}$ gibt mit $x^5\ne x^6$ . Einfach so ist die Aussage $x^5\ne x^6$ nicht korrekt, da musst du aufpassen.

Mitglied

Alexander

ok… 😉

Mitglied

Alexander

Teil 7:
Die Aussage ist wahr.
1. Der Wertebereich von g ist gleich dem Definitionsbereich von f, da beide N sind. Es folgt: $f \circ g$ ist definiert.
2. $(f \circ g) (x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x + 1) - 1 = x$
Für alle $x \in N$ gilt: $(f \circ g)(x) = x$

Autor

Stefan Hartmann

Ja, das ist richtig. 👍 Ich verbessere gerade noch den Code. 😉

Autor

Stefan Hartmann

Teil 4:
Ja, denn es gilt:
$\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot 4 + 3\cdot (-1) & 1\cdot (-3) + 3 \cdot 1 \\ 1\cdot 4 + 4 \cdot (-1) & 1 \cdot (-3) + 4 \cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1}\end{pmatrix}$ .

Mitglied

Alexander

Teil 5:
Die Aussage ist wahr.
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$
Aus f(X) ist eine Teilmenge von Y folgt: $|Y| \geq |f(X)|$
Deswegen und da g eine Funktion ist und somit linkstotal, hat g mindestens so viele Bilder in X wie $(g \circ f)$ . Es folgt: $(g \circ f)$ ist eine Teilmenge von Bild (g).

Autor

Stefan Hartmann

Du hast die richtigen Ideen, aber hier geht einiges durcheinander. $f(x)$ ist keine Teilmenge von $Y$ , sondern $f(X)$ . Und $f(x)$ hat gar keine Bilder in $X$ (sondern in $Y$ ). Oder meintest du: $g\circ f$ hat höchstens so viele Bilder wie $f$ ? Außerdem kann $(g \circ f)$ keine Teilmenge von $Bild(g)$ sein.

Aber ich denke mir all diese Fehler mal weg. 😉 Dann stimmt das Argument.

Schöner ist aber, wenn man hier weniger anschaulich operiert, sondern formaler. Und zwar so:

Sei $x \in \textrm{Bild}(g\circ f)$ beliebig gewählt. Dann gibt es ein $x* \in X$ mit $x = (g\circ f)(x*)= g(f(x*))$ . Mit $y:=f(x*)\in Y$ erhalten wir: $x = g(y)$ , also $x \in \textrm{Bild}(g)$ , was zu zeigen war.

Mitglied

Alexander

Danke für die Rückmeldung. Ich habe es oben mal so ausgebessert wie ich es gemeint habe. Ich bin mir aber nicht sicher, ob mein Gedanke stimmt. Ich bin davon ausgegangen, dass ich zeigen muss, dass Bild $(g \circ f)$ keine größere Mächtigkeit besitzen kann als Bild (g), da es sonst ja keine Teilmenge wäre.

Autor

Stefan Hartmann

Der Gedanke stimmt, das hatte ich ja schon gesagt. 😊 Es fehlt noch ein „Bild“ vor $(g\circ f)$ . Mit der Mächtigkeit muss man vorsichtig sein bei unendlichen Mengen. Wenn man weiß, was gemeint ist, kann man das so schreiben. Aber ich würde $Y \supseteq f(X)$ bevorzugen.

Mitglied

Alexander

Ok… danke 🙂 Jetzt verstehe ich es. 🙂

Mitglied

Alexander

Teil 9:
Annahme: $X \cup Y$ = $X \cap Y$
zu zeigen: X = Y
Die Aussage ist wahr.

Fall 1: X und Y sind nicht-leere Mengen
$X \cup Y = X \cap Y \Leftrightarrow \forall x: x \in X \cup Y \Leftrightarrow x \in X \cap Y \Leftrightarrow \forall x: x \in X \vee x \in Y \Leftrightarrow \forall x: x \in X \wedge x \in Y$

zu zeigen: $\forall x: x \in X$ => $x \in Y \wedge \forall x: x \in Y$ => $x \in X$

Es sei x fest aber beliebig und es sei $x \in X$ :
$x \in X \Leftrightarrow x \in X \wedge x \in Y \Leftrightarrow x \in Y$

Es sei x fest aber beliebig und es sei $x \in Y$ :
$x \in Y \Leftrightarrow x \in X \wedge x \in Y \Leftrightarrow x \in X$
Die Aussage ist wahr, da jedes x Element von X und Element von Y ist.

Fall 2: X und Y sind leere Mengen
Sind X und Y leere Mengen gilt die Annahme $X \cup Y$ = $X \cap Y$ und die Mengengleichheit X = Y = {}. Auch in diesem Fall ist die Aussage wahr.

Fall 3: Entweder X oder Y ist eine leere Menge
In diesem Fall ist die Annahme nicht erfüllt, da dann $X \cup Y \neq X \cap Y$

Autor

Stefan Hartmann

Im Prinzip hast du alles richtig gezeigt. Hier nur ein paar Anmerkungen: Wenn eine Aussage so offensichtlich in zwei Argumenten symmetrisch ist wie hier in $X$ und $Y$ , kannst du ganz einfach schreiben: Aus Symmetriegründen genügt es $X \subset Y$ zu zeigen. Im Falle $X=\emptyset$ ist nichts zu zeigen. Ansonsten sei $x\in X$ beliebig gewählt. Dann folgt auch $x\in X \cup Y=X \cap Y$ , also insbesondere $x\in Y$ , was zu zeigen war. So sparst du dir einige Fallunterscheidungen und der Beweis ist klarer und einfacher zu lesen.

Mitglied

Alexander

Danke für die Rückmeldung!

Mitglied

Alexander

Teil 10:
Die Aussage ist falsch.
$(L \times M) \times N$ enthält Elemente der Darstellung ((l, m), n), die Menge $L \times (M \times N)$ enthält Elemente der Darstellung (l, (m, n)). Somit gilt: $(L \times M) \times N \neq L \times (M \times N)$
Das kartesische Produkt ist also nicht assoziativ.

Autor

Stefan Hartmann

Liebe Alex, das ist richtig. 👍 Allerdings gibt es eine kanonische Bijektion zwischen beiden Mengen, so dass man in einem gewissen Sinne auch von Assoziativität sprechen kann. Man identifziert beide Ausdrücke mit $(l,m,n)$ . Aber formal hast du Recht! 👏

Mitglied

Alexander

Danke!

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