01.12.202001.12.2020 von Stefan Hartmann

Aufgabe 2.1

Wahr oder falsch? Begründe.

(1) Seien $A,B, C \in M_{nn}(\mathbb{R})$ . Wenn $AB=0$ und $CA = I_n$ , so gilt $B=0$ .

(2) Sei $\mathbb{K}$ ein Körper, und seien $A,B \in M_{nn}(\mathbb{K})$ . Dann gilt $\texrm{Rg}(AB) = \texrm{Rg}(BA)$ .

(3) Sei $\mathbb{K}$ ein Körper, und sei $A \in M_{nn}(\mathbb{K})$ . Wenn $A$ invertierbar ist, dann ist $\texrm{Rg}(A^{-1}) = \texrm{Rg}(A)$ .

(4) Sei $\mathbb{K}$ ein Körper, und seien $A,B \in M_{nn}(\mathbb{K})$ . Wenn $AB$ invertierbar ist, dann sind $A$ und $B$ invertierbar.

(5) Zeilenäquivalente Matrizen haben denselben Rang.

(6) Zwei $m \times n$ -Matrizen mit demselben Rang sind zeilenäquivalent.

(7) Sei $\mathbb{K}$ ein Körper, und seien $A,B \in M_{nn}(\mathbb{K})$ . Wenn $A$ und $B$ invertierbar sind, dann ist $A+B$ invertierbar.

(8) Wenn eine Matrix $A$ invertierbar ist, dann ist $A$ zeilenäquivalent zu $A^{-1}$ .

(9) Die Matrix $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ ist in Treppennormalform.

(10) Die Matrix $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ist in Treppennormalform.

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Mitglied

Alexander

Teil 5:
Die Aussage ist wahr.
Begründung: Zeilenäquivalente Matrizen haben die gleiche Treppennormalform (vgl. 4.4.5.). Sie haben folglich auch die gleichen Pivotpositionen und somit den gleichen Rang, da dieser durch die Anzahl an Pivotpositionen bestimmt wird.

Teil 6:
Die Aussage ist falsch.
Gegenbeispiel: Zwei m x n-Matrizen haben zwar denselben Rang, aber unterschiedliche Pivot-Positionen. Wegen der unteschiedlichen Pivotpositionen haben sie nicht dieselbe Treppennormalform und sind daher auch nicht zeilenäquivalent.

Teil 9:
Die Aussage ist falsch, denn die Matrix erfüllt die Bedingung (i) (vgl. 4.1.1) nicht wegen $a_{1j}_1 \neq 1$ . (Die erste Zeile müsste eine Pivotposition haben, sie ist aber eine Nullzeile.)

Teil 10:
Die Aussage ist falsch, da die Matrix die Bedingung (ii) aus 4.1.1 für die Treppennormalform nicht erfüllt:
In jeder ausgezeichneten Spalte müssen oberhalb und unterhalb der 1 Nullen stehen. In Spalte 3 steht aber oberhalb der 1 in Zeile 2, die eine Pivotposition ist, keine 0, sondern ebenfalls eine 1.

Autor

Stefan Hartmann

Perfekt bis dahin, ich bin beeindruckt wie gut du das nach meinem kleinen Vortrag heute verstanden hast ohne es selbst gelesen zu haben. 🤗

Mitglied

Alexander

Danke für die Rückmeldung und den Vortrag! 🙂

Mitglied

Alexander

Teil 1:
(1) Aus AB = 0 folgt: A oder B sind 0, da nur durch Multiplikation mit 0 eine Nullmatrix entsteht.
(2) Aus $CA = I_n$ folgt: C und A sind ungleich 0. Da C und A wegen $CA = I_n$ invertierbar sind, ist die Treppennormalform von C und A gleich $I_n$ . C und A können folglich nicht die Nullmatrix sein.
Aus (1) und (2) folgt: B=0, da sonst (1) nicht wahr wäre.

Teil 2:
Die Aussage ist falsch.
Wir widerlegen die Aussage mit einem Gegenbeispiel:

Es sei A = $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
Es sei B = $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

AB = $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ .
BA = $\begin {pmatrix}0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix} = \begin {pmatrix}0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} = \begin {pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ .

Es folgt: Rg(AB) = 1 und Rg(BA) = 2 und somit gilt: $Rg(AB) \neq Rg(BA)$

Autor

Stefan Hartmann

Teil 1 ist leider falsch. Schon der erste Satz ist falsch. Betrachte mal $A=B=\begin{pmatrix} 0& 1\\ 0& 0\end{pmatrix}$ . Hier muss du anders argumentieren, die Reihenfolge deiner Argumentation ändern.

Mitglied

Alexander

Ok, danke. Dann überlege ich nochmal. Stimmt Teil 3 bei mir?

Autor

Stefan Hartmann

Ja. Teil 3 und 8 sind ja auch quasi identisch. 😉

Autor

Stefan Hartmann

Siehe übrigens auch Aufgabe 2.3.7.

Autor

Stefan Hartmann

Bei Teil 2 musst du ein konkretes Gegenbeispiel angeben, wenn du die Aussage anzweifelst. Trotz $AB \ne BA$ könnte $Rang(AB)=Rang(BA)$ gelten. Übrigens gilt auch für invertierbare Matrizen i.A. nicht das Kommutativgesetz.

Mitglied

Alexander

Ich meinte damit, dass $AA^{-1} = A^{-1}A = I_n$ (vgl. 2.2.9). Also, dass eine Matrix und ihr Inverses kommutativ sind. War aber unklar ausgedrückt.

Autor

Stefan Hartmann

Ach so. 😊 Okay.

Mitglied

Alexander

Habe ein Gegenbeispiel für Teil 2 gefunden (falls ich mich nicht vertippt habe). 🙂 Teil 1 hat ja Katarina schon gepostet. 🙂

Autor

Stefan Hartmann

Die Gegenbeispiele sind richtig, allerdings solltest du die Gleichheitszeichen an einigen Stellen nicht verwenden. 😊

Mitglied

Alexander

Ok, danke 🙂 Dachte mir fast, dass man sie bei zeilenäquivalenten Umformungen nicht verwendet. 😉

Mitglied

Alexander

Teil 3:
Die Aussage ist wahr.
Da $A \in M_{nn} (K)$ gemäß Aufgabenstellung invertierbar ist, ist auch $A^{-1}$ invertierbar. Die Treppennormalform einer invertierbaren Matrix ist stets gleich $I_n$ . Somit haben A und $A^{-1}$ die gleiche Treppennormalform und somit die gleichen Pivot-Positionen. Da der Rang durch die Anzahl der Pivot-Positionen bestimmt wird, ist die Aussage wahr.

Autor

Stefan Hartmann

Das ist richtig. 👍

Mitglied

Alexander

Teil 8:
Die Aussage ist wahr.
Wenn A invertierbar ist, ist auch $A^{-1}$ invertierbar. Die Treppennormalform einer invertierbaren Matrix ist stets gleich $I_n$ . Somit haben A und $A^{-1}$ die gleiche Treppennormalform. Da Matrizen genau dann zeilenäquivalent sind, wenn sie dieselbe Treppennormalform besitzen (vgl. 4.4.5) ist die Aussage wahr.

Autor

Stefan Hartmann

Das ist richtig, sehr gut.

Webmaster

Katarina

3. Diese Aussage ist wahr
1.1 Aus 4.5.4 folgt, dass $Rg(A)=n$ ist.
1.2 $A^{-1}$ ist ebenfalls invertierbar (siehe 4.5.6), so dass die Proposition 4.5.4 auch für $A^{-1}$ gilt. Damit ist $Rg(A^{-1})=n$
1.3 Daraus folgt $Rg(A)=n=n=Rg(A^{-1})$
8. Diese Aussage ist wahr
1.1 Aus 4.4.5 folgt, dass $T(A)=T(A^{-1})$ zu zeigen gilt.
1.2 Aus 4.5.4 folgt, dass die Treppennormalform zu $A$ gleich $I$ ist.
1.3 Aus 4.5.6 folgt, dass $A^{-1}$ ebenfalls invertierbar ist, so dass 4.5,4 auch für $A^{-1}$ gilt.

Webmaster

Katarina

Mir ist gerade aufgefallen, dass Alex und ich die Aufgaben gleichzeitig gepostet haben, jetzt gibt es die Aufgabe doppelt.

Autor

Stefan Hartmann

Das ist richtig, prima! 😎

Webmaster

Katarina

1. Diese Aussage ist wahr
1.1 Aus 4.5.6 folgt, dass $A$ invertierbar ist.
1.2 Aus 4.5.5 folgt, dass $Rg(B)=Rg(AB)$ ist. Diese Aussage ist nur wahr, falls $B=0$ ist, da aus der Vorraussetzung folgt, dass $Rg(AB)=0$ ist.

Autor

Stefan Hartmann

Es stimmt, dass $A$ invertierbar ist und dass in diesem Fall $Rang(AB)=Rang(B)$ folgt. Man sollte jetzt noch dazu schreiben, dass dieser nach Voraussetzung gleich $0$ ist und daher auch $B=0$ . Denn aus $Rang(B)=Rang(AB)$ alleine folgt natürlich nicht $B=0$ . Noch „einfacher“ geht es so: Da $A$ invertierbar ist, folgt:

$B=A^{-1}\underbrace{AB}_{=0}=0$ .

Webmaster

Katarina

Alles klar, danke :). Habe es korrigiert.

Mitglied

Alexander

Teil 4:
Da AB invertierbar ist, gilt: $AB = E_1 \cdot E_2 \cdot E_3 \cdot ... \cdot E_s$ . AB ist also ein Produkt von Elementarmatrizen. Hieraus folgt, dass auch A und B Produkte von Elementarmatrizen sind oder selbst Elementarmatrizen sind. Da Elementarmatrizen invertierbar sind, folgt die Behauptung.

Autor

Stefan Hartmann

Okay, so geht es auch. 😊 Prima! Ich hätte es jetzt direkt mit der Definition gezeigt. Nach Voraussetzung gibt es Matrizen $C, C^{*}\in M_{nn}(\mathbb{R})$ mit

$(AB)C=C^{*}(AB)= I_n$ .

Daraus folgt mit $D:= BC \in M_{nn}(\mathbb{R})$ und $D^{*}:= C^{*}A\in M_{nn}(\mathbb{R})$ :

$AD=A(BC)=(AB)C=I_n$ und
$D^{*}B=(C^{*}A)B=C^{*}(AB)=I_n$ ,

d.h. $A$ und $B$ sind invertierbar.

Aber dein Beweis geht auch und ist sogar kürzer. 😊

Webmaster

Katarina

7. Diese Aussage ist falsch
1.1 Widerlegen wir diese Aussage mit einem Gegenbeispiel
1.2 Sei $A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$ und damit invertierbar.
Sei $B=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ und damit invertierbar.
1.3 So ist $A+B=\begin{pmatrix}2 & 5 \\ 4 & 10 \end{pmatrix}$ und damit nicht invertierbar.

Autor

Stefan Hartmann

Ja, da Beispiel ist richtig. Du solltest allerdings begründen, warum die Matrizen invertierbar sind und ihre Summe nicht. Sicher, das ist offensichtlich, aber wir sind hier in einem Stadium, in dem das noch einer Begründung bedarf.

Einfacher ist übrigens dieses Gegenbeispiel:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}$ , $B= \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix}$ .