Aufgabe 2.7

Die folgenden linearen Gleichungssysteme sind alle über \mathbb{R} definiert. Wahr oder falsch? Begründe!

(1) Das lineare Gleichungssystem

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}

hat keine Lösung.

(2) Das lineare Gleichungssystem

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

hat unendlich viele Lösungen.

(3) Eine spezielle Lösung von

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

ist \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.

(4) Es sei A \in M_{mn}(\mathbb{R}), uns sei m<n. Dann hat Ax=b, b \in M_{m1}(\mathbb{R}), immer eine Lösung.

(5) Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat immer eine Lösung.

(6) Sind \lambda und \lambda' verschiedene Lösungen von Ax=b, so hat dieses lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

(7) Ein lineares Gleichungssystem Ax=b mit A \in M_{mn}(\mathbb{R}) und m > n hat nie mehr als eine Lösung.

(8) In M_{12}(\mathbb{R}) gibt es nur endlich viele Matrizen in Treppennormalform.

(9) In M_{21}(\mathbb{R}) gibt es nur endlich viele Matrizen in Treppennormalform.

(10) Wenn \lambda und \lambda' verschiedene Lösungen von Ax=0 sind, dann ist \lambda + \lambda' auch eine Lösung von Ax=0.

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Katarina

5. Wahr
5.1 Homogene lineare Gleichungssysteme haben immer mindestens eine Lösung, denn es ist \lambda = \left( \begin{array}{c} 0 \\\  \vdots \\\ 0 \\\ \end{array}\right) immer eine Lösung von Ax=0

Alexander
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Alexander

Teil 2:
Wir bringen die Matrix in ihre Treppennormalform:

\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 1 & 1 & | & 1 \end{array}\right)

\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & -1 & -1 & | & -1 \end{array}\right)

\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \end{array}\right)

\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \end{array}\right)

Es folgt:
Rg(A) = 2
Rg(A´) = 2
n = 3
Da Rg(A) = Rg(A´) und Rg(A´) \neq n, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Die Aussage ist also wahr.

Alexander
Mitglied
Alexander

Teil 1:
Wir bringen die Matrix in ihre Treppennormalform:
\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & | & 1\\ 0 & 0 & 0 & | & 0\\ 1 & 0 & 1 & | & 3\\ \end{array}\right)

\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & | & 1\\ 0 & -1 & 1 & | & 2\\ \end{array}\right)

\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 0 & | & 1\\ 0 & 1 & -1 & | & -2\\ \end{array}\right)

\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 1 & | & 3\\ 0 & 1 & -1 & | & -2\\ \end{array}\right)

Es gilt: Rg(A) = Rg(A´) = 2.
Folglich hat das lineare Gleichungssystem mindestens eine Lösung.
Die Aussage ist also falsch.

Alexander
Mitglied
Alexander

Teil 7:
Die Aussage ist falsch.
Gegenbeispiel:
\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & | & 5 \\ 0 & 1 & 0 & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ \end{array}\right)
Wegen m = 4 und n = 3 gilt: m > n
Da Rg(A) = Rg(A´) = 2 und Rg(A) \neq n hat das Gleichungssystem aber unendlich viele Lösungen, was die Aussage widerlegt.

Alexander
Mitglied
Alexander

Teil 8:
Die Aussage ist wahr.
Es gibt in M_{12} (R) genau drei Matrizen in Treppennormalform:
(0 1), (1 0), (1 1)

Alexander
Mitglied
Alexander

Teil 9:
Die Aussage ist wahr, da es nur eine einzige derartige Matrix in M_{21}(R) gibt, nämlich \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0\\\end{array}\right).

Alexander
Mitglied
Alexander

Teil 10:
Aus Ax = 0 folgt: A\lambda = 0 und A\lambda'= 0
Durch Addieren der Gleichungen erhält man: A\lambda + A\lambda'= 0 + 0.
Dies ist wegen des Distributivgesetztes äquivalent zu A(\lambda + \lambda') = 0 + 0 = 0, womit gezeigt ist, dass die Aussage wahr ist.

Alexander
Mitglied
Alexander

Teil 3:
Wir setzen x_1 = 0, x_2 = 1 und x_3 = 0 und erhalten 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 +  1 \cdot 0 = 1 und 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1.
Folglich ist die Aussage wahr.