Aufgabe 2.13 – Rhombus

Sei $\mathbb{K}$ ein Körper, und seien $m,n\in \mathbb{N}$ . Wahr oder falsch? Begründe.

(1) Die Teilmenge

$U=\left\{ \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \ \vert \ x_1 + x_2 =0\right\}$

von $\mathbb{R}^3$ ist ein Unterraum von $\mathbb{R}^3$ .

(2) Die Teilmenge

$U=\left\{ \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \ \vert \ x_1 x_2 =0\right\}$

von $\mathbb{R}^3$ ist ein Unterraum von $\mathbb{R}^3$ .

(3) Die Teilmenge

$U=\left\{ \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \ \vert \ x_1^2 + x_2 =x_3\right\}$

von $\mathbb{R}^3$ ist ein Unterraum von $\mathbb{R}^3$ .

(4) Die Teilmenge

$U=\left\{ \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \ \vert \ x_1^2 + x_2 =x_3\right\}$

von $\mathbb{F}_2^3$ ist ein Unterraum von $\mathbb{F}_2^3$ .

(5) Die Teilmenge

$U=\left\{ \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \ \vert \ x_1^2 + x_2<2 =0\right\}$

von $\mathbb{R}^3$ ist ein Unterraum von $\mathbb{R}^3$

(6) Je zwei invertiertbare $n \times n$ -Matrizen über einem Körper $\mathbb{K}$ sind zeilenäquivalent.

(7) Die Metrizen $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ sind zeilenäquivalent.

(8) Wenn eine Matrix $A \in M_{mn}(\mathbb{K})$ nur zu sich selbst zeilenäquivalent ist, dann sind alle Einträge in $A$ Null.

(9) Seien $A \in M_{mn}(\mathbb{K})$ und $B \in M_{nm}(\mathbb{K})$ mit $AB=I_n$ . Dann gilt $m\ge n$ .

(10) Die Produkte $AB$ und $BA$ von zwei Matrizen $A$ und $B$ seien definiert. Wenn $AB$ invertierbar ist, dann ist auch $BA$ invertierbar.

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