Sei
.
Welche Bedingungen muss erfüllen, damit das lineare Gleichungssystem
1. genau eine Lösung hat?
2. mehr als eine Lösung hat?
3. keine Lösung hat?
Sei
.
Welche Bedingungen muss erfüllen, damit das lineare Gleichungssystem
1. genau eine Lösung hat?
2. mehr als eine Lösung hat?
3. keine Lösung hat?
Es gilt:
A´=
Durch äquivalente Zeilenumformung erhalten wir
A´=
A´=
Damit das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung hat, muss
eine Pivot-Position sein. Dies kann genau dann eintreten, wenn
ist. In diesem Fall kann man
erreichen, indem man die dritte Zeile durch
teit. Subtrahiert man dann die dritte Zeile a+1 mal von der zweiten und a mal von der ersten, entstehen auf den Positionen
und
Nullen.
ist genau dann ungleich 0 und hat somit genau eine Lösung, wenn
und
gilt. Wäre a = 0 oder a = -2, so wäre ein Faktor von
und somit das ganze Produkt gleich 0.
Wir erhalten auf diese Weise eine Treppennormalform, für die Rg(A) = Rg(A´) = n = 3 gilt.
Gilt a = 0, so ist
A`=
Wegen Rg(A) = Rg(A´) = 2 < 3 = n hat das lineare Gleichungssystem in diesem Fall unendlich viele Lösungen.
Gilt a = -2, so ist
A´=
A´=
A´=
Wegen Rg(A) = 2 < 3 = Rg(A´) hat das lineare Gleichungssystem in diesem Fall keine Lösung.
Ich verstehe gerade schon das allererste
nicht. Was hast du da gemacht? Zukünftig solltest du besser alle Zeilenumformungen genau angeben. Gibt man diese nicht an, gibt es bei der Fernuni Punktabzug. Leider habe ich im Moment keine Zeit mir das genauer anzuschauen… vielleicht kannst du erst einmal
korrigieren, falls erforderlich.
Da habe ich mich beim Abschreiben vertippt. 🙁 Das erste A´ ist einfach die erweiterte Koeffizientenmatrix nach Angabe, da habe ich noch nicht umgeformt.
Ah okay, ich verstehe. Ich habe es nun durchgerechnet und keine Fehler gefunden. Auch die Argumentation ist richtig, sehr gut! 👍
Danke für die Rückmeldung.
Zeilenumformungen habe ich nicht hingechrieben, weil ich nicht weiß, wie ich das mit Latex formatieren soll.
Ich würde dann noch einen Array neben die Matrix setzen:
mittels \begin{array}{l} \vert (I)-(II)\\ \vert 3\cdot (II) \\ \vert (III) \end{array} oder so etwas.