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Es gilt:
A´= \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & -1 & -1 & | & 2 \\ 1 & 0 & a & | & 1 \\ 1 & a & 0 & | & 1\\ \end{array}\right)

Durch äquivalente Zeilenumformung erhalten wir
A´=\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & -1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 1 & a+1 & | & -1 \\ 0 & a+1 & 1 & | & -1\\ \end{array}\right)

A´= \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & a & | & 1 \\ 0 & 1 & a+1 & | & -1 \\ 0 & 0 & -a(a+2) & | & a\\ \end{array}\right)

Damit das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung hat, muss a_{33} eine Pivot-Position sein. Dies kann genau dann eintreten, wenn -a(a+2) \neq 0 ist. In diesem Fall kann man a_{33}=1 erreichen, indem man die dritte Zeile durch -a(a+2) teit. Subtrahiert man dann die dritte Zeile a+1 mal von der zweiten und a mal von der ersten, entstehen auf den Positionen a_{13} und a_{23} Nullen.
Wir erhalten auf diese Weise eine Treppennormalform, für die Rg(A) = Rg(A´) = n = 3 gilt.
-a(a+2) ist genau dann ungleich 0 und hat somit genau eine Lösung, wenn a \neq 0 und a \neq -2 gilt. Wäre a = 0 oder a = -2, so wäre ein Faktor von -a(a+2) und somit das ganze Produkt gleich 0.

Gilt a = 0, so ist
A`= \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0\\ \end{array}\right)
Wegen Rg(A) = Rg(A´) = 2 < 3 = n hat das lineare Gleichungssystem in diesem Fall unendlich viele Lösungen.

Gilt a = -2, so ist
A´= \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & -2 & | & 1 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & -2\\ \end{array}\right)

A´= \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & -2 & | & 1 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & -1\\ \end{array}\right)

A´= \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1\\ \end{array}\right)

Wegen Rg(A) = 2 < 3 = Rg(A´) hat das lineare Gleichungssystem in diesem Fall keine Lösung.