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Aufgabe 4

Geben Sie Beispiele von Relationen auf einer Menge X an, die

  • reflexiv, symmetrisch, aber nicht transitiv,
  • symmetrisch, transitiv, aber nicht reflexiv,
  • reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch,
  • weder reflexiv, noch symmetrisch, noch transitiv

sind.

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Aufgabe 3

Zeigen Sie, dass die in Abschnitt 1.2 angegebenen Äquivalenzrelationen wirklich Äquivalenzrelationen sind.

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Aufgabe 2

In meinem Lieblingsrestaurant kann man sich seine Mahlzeit aus folgenden Komponenten selbst zusammenstellen:

(a) Hüftsteak, Rumpsteak, Filetsteak, Rib-Eye-Steak;

(b) Gewicht: 180 g oder 250 g;

(c) Beilagen: Folienkartoffeln, Pommes frites, Kroketten, Bratkartoffeln, weißer Langkornreis, Maiskolben, Knoblauchbrot, rote Bohnen, Zwiebelringe, Champignons;

(d) Sauce: Kräuterbutter, Pfefferrahmsauce, Sauce nach Art Béarnaise.

Wenn ich jeden Monat einmal dort esse: Wie lange brauche ich, um alle Komponenten durchzuprobieren?

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Aufgabe 1

Seien X und Y Mengen, für die gilt:

für alle x \in X gilt x \notin Y .

Folgt daraus X \ne Y ?

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Verständnisfrage 4 – Thema: Äquivalenzklassen

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Sei \sim eine Äquivalenzrelation auf der Menge X.

  • Für jedes x \in X ist die Menge B(x)=\{y \in X \, \vert \, \text{es gilt nicht} \ y \sim x\} eine Äquivalenzklasse von  \sim.
  • Wenn \sim nur zwei Äquivalenzklassen hat, so ist B(x) eine Äquivalenzklasse.
  • Wenn es ein x \in X gibt, so dass B(x) eine Äquivalenzklasse ist, so hat \sim nur zwei Äquivalenzklassen.
  • Für alle x_1,x_2,x_3 \in X gilt: Wenn weder x_1 \sim x_2 noch x_2 \sim x_3 gilt, so gilt auch nicht x_1 \sim x_3.
  • Für alle x_1,x_2,x_3 \in X gilt: Wenn weder x_1 \sim x_2 noch x_2 \sim x_3 gilt, so gilt jedenfalls x_1 \sim x_3.