Kapitel 1 – Seite 2

Aufgabe 6

Man beweise: Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt

$\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}$ .

Es sei $r$ eine natürliche Zahl. Man zeige:

Es gibt rationale Zahlen $a_{r1},\ldots,a_{rr}$ so, dass für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt:

$\sum\limits_{k=1}^n k^r = \frac{1}{r+1}n^{r+1} + a_{rr}n^r + \ldots + a_{r1} n$ .

Man finde eine Formel für

$\sum\limits_{k=1}^n (2k-1)^2$

und beweise sie.

Man beweise die Summenformeln

$\sum\limits_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ und $\sum\limits_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ .

Man beweise: Für jede natürliche Zahl $n$ hat die Zahl $P(n):=n^2+n+41$ keinen Primfaktor $\le 37$ .

Lässt sich der Trick von Gauß über die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen auch anwenden, wenn $n$ ungerade ist?

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