Sind reine Leseaufgaben, daher stelle ich sie hier nicht. Sollte man aber ruhig mal machen!
Aufgabe 37
Eine reelle -Matrix wird ein magisches Quadrat der Ordnung n genannt, wenn die Summe der Elemente in jeder Zeile und jeder Spalte gleich sind.
(a) Zeigen Sie, dass die Menge aller quadratischen Quadrate der Ordnung einen Vektorraum bilden.
(b) Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums der magischen Quadrate der Ordnung . Geben Sie eine Basis dieses Vektorraums an. [Hinweis: Es gibt eine Basis aus Matrizen, die in jeder Zeile und jeder Spalte nur eine Eins (und sonst Nullen) enthalten.]
(c) Versuchen Sie, (b) zu verallgemeinern.
Aufgabe 36
Sei die Menge aller unendlichen Folgen
reeller Zahlen mit der Eigenschaft
für
.
(a) Zeigen Sie, dass zusammen mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum ist.
(b) Welche Dimension hat ?
(c) Können Sie eine Basis von angeben?
Aufgabe 35
Welche Dimension hat der von den Vektoren ,
,
erzeugte Unterraum von
(
)?
[Hinweis: Achtung!]
Aufgabe 34
(a) Zeigen Sie, dass die Menge eine Basis des Vektorraums
ist.
(b) Ergänzen Sie die Menge durch Vektoren aus
zu einer Basis von
.
Aufgabe 33
(a) Sei eine Basis eines 3-dimensionalen
-Vektorraums
. Zeigen Sie, dass dann auch die Menge
eine Basis ist mit
,
,
.
(b) Gilt diese Aussage auch noch, wenn man als den Körper
oder
wählt?
Aufgabe 32
Sei eine Basis eines
-dimensionalen
-Vektorraums
. Für welche reellen Zahlen
ist die Menge
mit
,
ebenfalls eine Basis von ?
Aufgabe 31
Zeigen Sie, dass für jeden Unterraum eines Vektorraums
die Struktur
ein Vektorraum ist.
Aufgabe 30
Sei ein Unterraum des
-Vektorraums
. Zeigen Sie: Das mengentheoretische Komplement von
in
(siehe Abschn. 1.1) ist nie ein Unterraum.
Aufgabe 29
Seien und
Unterräume des Vektorraums
.
(a) Untersuche, dann die mengentheoretische Vereinigung (also nicht das Erzeugnis!) von
und
ein Unterraum von
ist.
(b) Wann ist ?