Lineare Algebra – Beutelspacher

27.06.2018

Aufgabe 38-40

Sind reine Leseaufgaben, daher stelle ich sie hier nicht. Sollte man aber ruhig mal machen!

27.06.2018

Aufgabe 37

Eine reelle $n \times n$ -Matrix wird ein magisches Quadrat der Ordnung n genannt, wenn die Summe der Elemente in jeder Zeile und jeder Spalte gleich sind.

(a) Zeigen Sie, dass die Menge aller quadratischen Quadrate der Ordnung $n$ einen Vektorraum bilden.

(b) Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums der magischen Quadrate der Ordnung $3$ . Geben Sie eine Basis dieses Vektorraums an. [Hinweis: Es gibt eine Basis aus Matrizen, die in jeder Zeile und jeder Spalte nur eine Eins (und sonst Nullen) enthalten.]

27.06.2018

Aufgabe 36

Sei $V$ die Menge aller unendlichen Folgen $(a_1,a_2,a_3,\ldots)$ reeller Zahlen mit der Eigenschaft $a_i=a_{i-2} + a_{i-1}$ für $i \ge 3$ .

(a) Zeigen Sie, dass $V$ zusammen mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum ist.

(b) Welche Dimension hat $V$ ?

27.06.2018

Aufgabe 35

Welche Dimension hat der von den Vektoren $(1,2,t+2)$ , $(-1,t+1,t)$ , $(0,t,1)$ erzeugte Unterraum von $\mathbb{R}^3$ ( $t \in \mathbb{R}$ )?

[Hinweis: Achtung!]

27.06.2018

Aufgabe 34

(a) Zeigen Sie, dass die Menge $B:=\{(1,2,3,4), (2,0,1,-1), (-1,0,0,1), (0,2,3,0)\}$ eine Basis des Vektorraums $\mathbb{R}^4$ ist.

(b) Ergänzen Sie die Menge $\{(0,4,5,9),(3,3,3,3)\}$ durch Vektoren aus $B$ zu einer Basis von $\mathbb{R}^4$ .

27.06.201827.06.2018

Aufgabe 33

(a) Sei $\{v_1,v_2,v_3\}$ eine Basis eines 3-dimensionalen $\mathbb{R}$ -Vektorraums $V$ . Zeigen Sie, dass dann auch die Menge $\{c_1,c_2,c_3\}$ eine Basis ist mit

$c_1:= 3v_1+v_2+2v_3$ ,

$c_2:=v_1+v_2+v_3$ ,

$c_3:=v_1+v_2+2v_3$ .

(b) Gilt diese Aussage auch noch, wenn man als $K$ den Körper $GF(2)$ oder $GF(3)$ wählt?

26.06.2018

Aufgabe 32

Sei $\{v_1,\ v_2\}$ eine Basis eines $2$ -dimensionalen $\mathbb{R}$ -Vektorraums $V$ . Für welche reellen Zahlen $s,\ t$ ist die Menge $\{w_1,\ w_2\}$ mit