Aufgabe 21

Sei f:K \rightarrow L ein Homomorphismus des Körpers K in den Körper L. Zeigen Sie:

(a) Das Element 0 \in K ist das einzige Element, das auf 0 \in L abgebildet wird.

(b) Die Abbildung f ist injektiv.

Aufgabe 20

Bestimmen Sie alle Automorphismen des Körpers GF(p) (={\mathbb Z}_p), wobei p eine Primzahl ist.

Aufgabe 18

(a) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie: {\mathbb Z}_p hat die Charakteristik p.

(b) Sei K ein Körper mit Charakteristik p. Dann enthält K einen Körper, der isomorph zu {\mathbb Z_p ist.

(c) Sei K ein Körper der Charakteristik p, und sei K nicht isomorph zu {\mathbb Z}_p. Dann gilt: |K|  \ge p^2.

Aufgabe 17

Sei K ein endlicher Körper.

(a) Dann gibt es eine natürliche Zahl n derart, dass

n \cdot 1 = \underbrace{1 + 1 + \ldots +1}_{n \ {\textrm mal}} = 0

gilt.

(b) Sei p die kleinste natürliche Zahl mit p \cdot 1=0. Zeigen Sie: p ist eine Primzahl.

[Man nennt p die {\bf Charakteristik} des Körpers K.]

Aufgabe 15

Sei K ein Körper, in dem es kein Element a gibt, für das a^2=-1 gilt. Wir definieren auf der Menge K \times K die Addition komponentenweise und eine Multiplikation durch folgende Vorschrift:

(x,y) \cdot (x',y') := (xx' - yy', xy'+x'y).

(a) Zeigen Sie, dass die so definierte Struktur ein Null- und ein Einselement besitzt.

(b) Zeigen Sie, dass jedes von 0 verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besizuz.

(c) Ist K \times K mit den oben definierten Verknüpfungen ein Körper?

Aufgabe 13

Überlegen Sie, dass es keinen Körper mit genau 6 Elementen gibt.

Aufgabe 12

Die {\bf Ordnung} eines Elements a \ne 0 aus {\mathbb Z}_n ist die kleinste natürliche Zahl i mit a^i=1 (in {\mathbb Z}_n). Bestimmen Sie die Ordnung in folgenden Fällen:

a=5 \ , \ n=7 \ ;
a=10 \ , \ n=17 \ ;
a=8 \ , \ n=15 \ ;
a=2 \ , \ n=7 \ .