Sei ein Homomorphismus des Körpers
in den Körper
. Zeigen Sie:
(a) Das Element ist das einzige Element, das auf
abgebildet wird.
(b) Die Abbildung ist injektiv.
Sei ein Homomorphismus des Körpers
in den Körper
. Zeigen Sie:
(a) Das Element ist das einzige Element, das auf
abgebildet wird.
(b) Die Abbildung ist injektiv.
Bestimmen Sie alle Automorphismen des Körpers (
), wobei
eine Primzahl ist.
Bestimmen Sie alle Automorphismen der Körper ,
,
.
(a) Sei eine Primzahl. Zeigen Sie:
hat die Charakteristik
.
(b) Sei ein Körper mit Charakteristik
. Dann enthält
einen Körper, der isomorph zu
ist.
(c) Sei ein Körper der Charakteristik
, und sei
nicht isomorph zu
. Dann gilt:
.
Sei ein endlicher Körper.
(a) Dann gibt es eine natürliche Zahl derart, dass
gilt.
(b) Sei die kleinste natürliche Zahl mit
. Zeigen Sie:
ist eine Primzahl.
[Man nennt p die des Körpers
.]
Zeigen Sie: Wenn ein Automorphismus eines Körpers
ist, dann gilt
für alle
.
Sei ein Körper, in dem es kein Element
gibt, für das
gilt. Wir definieren auf der Menge
die Addition komponentenweise und eine Multiplikation durch folgende Vorschrift:
.
(a) Zeigen Sie, dass die so definierte Struktur ein Null- und ein Einselement besitzt.
(b) Zeigen Sie, dass jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besizuz.
(c) Ist mit den oben definierten Verknüpfungen ein Körper?
Konstruieren Sie einen Körper, der genau Elemente hat.
Überlegen Sie, dass es keinen Körper mit genau Elementen gibt.
Die eines Elements
aus
ist die kleinste natürliche Zahl
mit
(in
). Bestimmen Sie die Ordnung in folgenden Fällen: