Kapitel 2 – Rhombus

14.01.2018

Aufgabe 21

Sei $f:K \rightarrow L$ ein Homomorphismus des Körpers $K$ in den Körper $L$ . Zeigen Sie:

(a) Das Element $0 \in K$ ist das einzige Element, das auf $0 \in L$ abgebildet wird.

(b) Die Abbildung $f$ ist injektiv.

14.01.2018

Aufgabe 20

Bestimmen Sie alle Automorphismen des Körpers $GF(p)$ ( $={\mathbb Z}_p$ ), wobei $p$ eine Primzahl ist.

14.01.2018

Aufgabe 19

Bestimmen Sie alle Automorphismen der Körper $GF(2)$ , $GF(3)$ , $GF(4)$ .

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Aufgabe 18

(a) Sei $p$ eine Primzahl. Zeigen Sie: ${\mathbb Z}_p$ hat die Charakteristik $p$ .

(b) Sei $K$ ein Körper mit Charakteristik $p$ . Dann enthält $K$ einen Körper, der isomorph zu ${\mathbb Z_p$ ist.

(c) Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p$ , und sei $K$ nicht isomorph zu ${\mathbb Z}_p$ . Dann gilt: $|K| \ge p^2$ .

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Aufgabe 17

Sei $K$ ein endlicher Körper.

(a) Dann gibt es eine natürliche Zahl $n$ derart, dass

$n \cdot 1 = \underbrace{1 + 1 + \ldots +1}_{n \ {\textrm mal}} = 0$

gilt.

(b) Sei $p$ die kleinste natürliche Zahl mit $p \cdot 1=0$ . Zeigen Sie: $p$ ist eine Primzahl.

[Man nennt p die ${\bf Charakteristik}$ des Körpers $K$ .]

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Aufgabe 16

Zeigen Sie: Wenn $f$ ein Automorphismus eines Körpers $K$ ist, dann gilt $f(k^{-1}) = f(k)^{-1}$ für alle $k \in K \setminus \{0\}$ .

14.01.2018

Aufgabe 15

Sei $K$ ein Körper, in dem es kein Element $a$ gibt, für das $a^2=-1$ gilt. Wir definieren auf der Menge $K \times K$ die Addition komponentenweise und eine Multiplikation durch folgende Vorschrift:

$(x,y) \cdot (x',y') := (xx' - yy', xy'+x'y)$ .

(a) Zeigen Sie, dass die so definierte Struktur ein Null- und ein Einselement besitzt.

(b) Zeigen Sie, dass jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besizuz.

14.01.2018

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