Kapitel 2 – Seite 2

14.01.2018

Aufgabe 11

Zeigen Sie, dass in ${\mathbb Z}_n$ das Assoziativ- und das Distributivgesetz gelten.

14.01.2018

Aufgabe 10

Warum ist ${\mathbb Z}_{ab}$ für $a>1$ und $b>1$ kein Körper?

Ist es möglich, dass eine Teilmenge $U \subseteq {\mathbb Z}_{ab}$ (mit der Addition und Multiplikation von ${\mathbb Z}_{ab}$ !) ein Körper ist?

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Aufgabe 9

Welche der folgenden Gleichungen sind „modulo 12“ (das heißt in ${\mathbb Z}_{12}$ ) lösbar? Geben Sie gegebenenfalls eine Lösung an:

$6 \cdot x = 2 \ , \ 2 \cdot x + 4 = 9 \ , \ 3 \cdot x - 9 = 5 \ , \ 7 \cdot x = 1$ .

14.01.2018

Aufgabe 8

Lösen Sie die folgenden Gleichungen „modulo 11“ (das heißt in ${\mathbb Z}_{11}$ ):

$6 \cdot x = 2 \ , \ 2 \cdot x + 4 = 9 \ , \ 3 \cdot x - 9 = 5 \ , \ 7 \cdot x = 1$ .

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Aufgabe 7

Sei $n$ eine natürliche Zahl. Zeigen Sie: Wenn $a, \, b, \, a', \ b'$ natürliche Zahlen sind mit

$a' \equiv a {\pmod n$ und $b' \equiv b {\pmod n}$ ,

so gilt auch:

$a'+b' \equiv a + b {\pmod n$ und $a' \cdot b'\equiv a \cdot b {\pmod n}$

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Führen Sie den Quaternionenschiefkörper nach der Art und Weise ein, in der wir die komplexen Zahlen eingeführt haben. Also in etwa so: Die Quaternionen sind die 4-Tupel $(a,b,c,d)$ reeller Zahlen. Speziell setzen wir fest: $i:=(0,1,0,0) \ , \ j:=(0,0,1,0) \ , \ k:=(0,0,0,1)$ . Die Addition wird komponentenweise definiert.

(a) Definieren Sie die Multiplikation.

(b) Zeigen Sie, dass man auf diese Weise einen Schiefkörper erhält.

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Aufgabe 5

(a) Zeigen Sie: Man kann die Gültigkeit der Distributivgesetze in ${\mathbb H}$ auf die Gültigkeit der Distributivgesetze für die Einheiten zurückführen.

(b) Weisen Sie die Distributivgesetze für die Einheiten von ${\mathbb H}$ nach.

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Aufgabe 4

Zeigen Sie, dass für die Einheiten von ${\mathbb H}$ das Assoziativgesetz gilt, falls man (neben den anderen Festlegungen, die wir in Abschnitt 2.2. für die Einheiten getroffen haben) nur die folgenden Gesetze fordert:

$j \cdot (j \cdot k) = (j \cdot j) \cdot k \ , \ k \cdot (k \cdot i) = (k \cdot k) \cdot i \ , \ i \cdot (i \cdot j) = (i \cdot i) \cdot j$ .