Aufgabe 1

Überzeugen Sie sich, dass jedes der Gleichheitszeichen in folgender Gleichungskette im Körper {\mathbb C} der komplexen Zahlen zu Recht besteht (das heißt, auf die Definition zurückgeführt werden kann).

z\cdot z'= (a+bi)(a'+b'i) = aa' + ab'i + bia' +bi \cdot  b'i = aa' + bb'i^2 + (ab'+ba')i = aa' -bb' + (ab'+ba')i

(Bemerkung: Ich habe die Reihenfolge geändert, weil man sonst das letzte Gleichheitszeichen nicht begründen kann. Das erste Gleichheitszeichen ist so nur  Einsetzen von z und z'.)

Verständnisfrage 2 – Thema: Automorphismen von Körpern

Sei  K  ein Körper. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

  • Die Identität ist immer ein Automorphismus von  K.
  • Die Identität ist nie ein Automorphismus von  K.
  • Jeder Körper hat nur die Identität als Automorphismus.
  • Jeder Körper hat mindestens zwei Automorphismen, nämlich die Identität und die Nullabbildung (das ist diejenige Abbildung, die jedes Element auf  0 abbildet).
  • Kein Automorphismus  \ne id. bildet ein Element von  K  auf sich ab.
  • Jeder Automorphismus von  K  lässt mindestens zwei Elemente von  K  fest.
  • GF(4)  hat nur die Identität als Automorphismus.

Verständnisfrage 1 – Thema: Komplexe Zahlen

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

  • i ist die einzige komplexe Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist.
  • 1 ist die einzige komplexe Zahl, die zu sich selbst (multiplikativ) invers ist.
  • Die multiplikative Inverse einer Zahl aus  \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}  ist in  \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}.
  • Das Produkt je zweier Zahlen aus  \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}  ist in  \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}.