Kategorie: Kapitel 2

Überzeugen Sie sich, dass jedes der Gleichheitszeichen in folgender Gleichungskette im Körper der komplexen Zahlen zu Recht besteht (das heißt, auf die Definition zurückgeführt werden kann).

(Bemerkung: Ich habe die Reihenfolge geändert, weil man sonst das letzte Gleichheitszeichen nicht begründen kann. Das erste Gleichheitszeichen ist so nur  Einsetzen von und .)

Sei    ein Körper. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

• Die Identität ist immer ein Automorphismus von  .
• Die Identität ist nie ein Automorphismus von  .
• Jeder Körper hat nur die Identität als Automorphismus.
• Jeder Körper hat mindestens zwei Automorphismen, nämlich die Identität und die Nullabbildung (das ist diejenige Abbildung, die jedes Element auf   abbildet).
• Kein Automorphismus  . bildet ein Element von    auf sich ab.
• Jeder Automorphismus von    lässt mindestens zwei Elemente von    fest.
•  hat nur die Identität als Automorphismus.

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

• ist die einzige komplexe Zahl, deren Quadrat gleich ist.
• ist die einzige komplexe Zahl, die zu sich selbst (multiplikativ) invers ist.
• Die multiplikative Inverse einer Zahl aus    ist in  .
• Das Produkt je zweier Zahlen aus    ist in  .