Kategorie: Kapitel 3

Zeigen Sie: Der Durchschnitt beliebig vieler Unterräume eines Vektorraums ist wieder ein Unterraum von .

Bestimmen Sie diejenigen Unterräume eines Vektorraums, die nur ein Komplement haben.

Zeigen Sie: Seien und komplementäre Unterräume des Vektorraums . Wenn eine Basis von und eine Basis von ist, dann ist eine Basis von .

Seien und Unterräume eines -Vektorraums . Wir definieren:

.

Welche der folgenden Aussagen gilt dann

(a) ,

(b) ,

(c) ?

Seien und Unterräume eines -Vektorraums .

(a) Zeigen Sie: Die Menge

  (die Summe von und )

ist ein Unterraum von .

(b) Gilt ?

Sei ein Vektorraum der Dimension . Zeigen Sie: Jedes Erzeugendensystem besteht aus mindestens Vektoren; Gleichheit gilt genau dann, wenn eine Basis von ist.

Sei die Menge aller Abbildungen von nach .

(a) Zeigen Sie: Wenn man eine Addition und eine skalare Multiplikation auf wie folgt definiert:

,     für alle    (),

so wird zu einem -Vektorraum.

(b) Wir definieren:

.

Zeigen Sie: ist ein Unterraum von .

Sei .

(a) Zeigen Sie, dass die Menge ein Unterraum von ist.

(b) Geben Sie eine Basis von an.

(c) Ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis von .

Zeigen Sie, dass das Erzeugnis von Vektoren eines Vektorraums ein Unterraum von ist.

Beweisen Sie folgendes (außerordentlich nützliches!) Unterraumkriterium: Sei eine Teilmenge eines -Vektorraums . Wenn gilt

• .
• für alle und gilt ,
• für alle ist ,

dann ist ein Unterraum von .