Kapitel 3 – Seite 5

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Verständnisfrage 5 – Thema: Unterräume

Sei $U$ ein Unterraum des Vektorraums $V$ , Gilt dann für alle $u,\, u' \in V$ :

(1) $u,\, u' \notin U \,\Rightarrow \, u+u' \notin U$ ,
(2) $u,\, u' \notin U \, \Rightarrow \, u+u' \in U$ ,
(3) $u \notin U,\, u' \in U \, \Rightarrow \, u+u' \notin U$ ?

04.05.2018

Verständnisfrage 4: Basen

Sei $V$ ein Vektorraum. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

(1) Jede Teilmenge einer Menge linear unabhängiger Vektoren ist linear unabhängig.
(2) Jede Teilmenge einer Menge linear abhängiger Vektoren ist linear abhängig.
(3) Wenn eine Basis von $V$ unendlich ist, sind alle Basen von $V$ unendlich.
(4) Wenn eine Basis von $V$ endlich ist, sind alle Basen von $V$ endlich.
(5) Es gibt eine Basis der $\mathbb{R}^3$ aus Vektoren der Form $(x,x,x)$ .
(6) Jede Basis des $\mathbb{R}^3$ besteht aus Vektoren der Form $(x,x,x)$ .
(7) Jeder Vektor der Form $(x,x,x)$ kann zu einer Basis des $\mathbb{R}^3$ ergänzt werden.

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Verständnisfrage 3 – Thema: Dimension

Welche der folgenden Objekte haben eine Dimension?

(1) Ein Vektor,
(2) eine Linearkombination,
(3) eine Basis,
(4) ein Unterraum.

Welche der folgenden Zahlen kommen als Dimension eines Vektorraums in Frage: $-1$ , $0$ , $1$ , $17.5$ , $2001$ , $\infty$ ?

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Verständnisfrage 2 – Thema: Erzeugnis und lineare Unabhängigkeit

Welche Aussagen sind richtig bzw. wann?

(1) Die Vektoren $v_1,\, v_2,\, \ldots,\, v_n$ sind linear unabhängig, wenn eine Linearkombination von $v_1,\, v_2,\, \ldots,\, v_n$ den Nullvektor ergibt.
(2) Die Vektoren $v_1,\, v_2,\, \ldots,\, v_n$ sind linear unabhängig, wenn ihre Summe $0$ ist.
(3) Der Nullvektor ist nur durch die triviale Linearkombination darstellbar.
(4) Der Nullvektor ist stets durch die triviale Linearkombination darstellbar.
(5) Ist $B$ ein Erzeugendensystem eines Vektorraums $V$ , so ist jeder Vektor durch mindestens/genau/höchstens eine Linearkombination der Vektoren aus $B$ darstellbar.
(6) Ist $B$ eine Menge linear unabhängiger Vektoren eines Vektorraums $V$ , so ist jeder Vektor durch mindestens/genau/höchstens eine Linearkombination der Vektoren aus $B$ darstellbar.

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Verständnisfrage 1 – Thema: Definition eines Vektorraums

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

(1) Man kann je zwei Vektoren eines Vektorraums addieren.
(2) Man kann einen Vektor $v$ durch einen Vektor $w$ dividieren, falls $w\ne 0$ ist.
(3) Jeder Vektorraum hat ein eindeutiges Nullelement.
(4) Jeder Vektorraum hat ein eindeutiges Einselement.
(5) Wenn $V$ ein $K$ -Vektorraum ist, dann ist $\{v+w|v \in V, w \in V\}=V$ .
(6) Wenn $V$ ein $K$ -Vektorraum ist, dann ist $\{v+w|v \in V, w \in V\}=V \times V$ .
(7) Für alle $u,\, v,\,w$ eines Vektorraums $V$ gilt $u\cdot (v\cdot w) = (u \cdot v)\cdot w$
(8) $\mathbb{R}^n$ besteht aus allen $n$ -Tupeln reeller Zahlen.
(9) $\mathbb{R}^n$ besteht aus $n$ -Tupeln von Vektoren.

Welche der folgenden Mengen sind Vektorräume, wenn man die Addition und die Multiplikation komponentenweise definiert?

(1) Die Menge aller reellen Folgen der Länge 1000,
(2) die Menge aller endlichen reellen Folgen,
(3) die Menge aller unendlichen reellen Folgen,
(4) die Menge aller unendlichen reellen Folgen, die nur endlich viele von $0$ verschiedene Komponenten haben,
(5) die Menge aller unendlichen reellen Folgen, die unendlich viele von $0$ verschiedene Komponenten haben,
(6) die Menge aller unendlichen reellen Folgen, die nur endlich viele von $1$ verschiedene Komponenten haben.