Kategorie: Kapitel 1

Was bedeuten die Symbole

 ,    ,   ?

Beweisen Sie (mit Induktion):

.

Drücken Sie diese Gleichung auch verbal aus (Also etwa:“Die Summe der ersten hm-hm-Zahlen ist gleich…“).

Wie viele Folgen    der Länge gibt es, wenn die einzelnen Folgenglieder genau Werte annehmen können?

Sei eine -elementige Menge.

(a) Geben Sie eine bijektive Abbildung der Menge aller binären Folgen der Länge auf die Menge aller Teilmengen von an.

(b) Geben Sie damit einen neuen Beweis für die Tatsache an.

Eine binäre Folge ist eine Folge, deren Elemente nur 0 und 1 sind. Besteht eine solche Folge aus Komponenten, so spricht man von einer binären Folge der Länge . Wie groß ist die Anzahl der binären Folgen der Länge ?

[Hinweis: Wenn Sie das nicht schnell sehen, schreiben Sie alle binären Folgen der Länge 2 und 3 auf; dann erhalten Sie eine Vermutung, die Sie dann „nur noch“ beweisen müssen.]

Schreiben Sie die folgende Doppelsummer aus:

.

Studieren Sie den Beweis des Satzes über Potenzmengen genau, und machen Sie sich klar, dass wir mehr bewiesen haben: Es gibt keine surjektive Abbildung von nach .

Machen Sie sich klar, dass und die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 nicht gleichmächtig sind.

Zeigen Sie: und sind gleichmächtig.

Zeigen Sie:

(a) Es gibt unendlich viele Primzahlen.

(b) und die Menge aller Primzahlen sind gleichmächtig.