Aufgabe 24

Beweisen Sie (mit Induktion):

1^3+2^3+3^3+\ldots + n^3= (1+2+3+\ldots + n)^2.

Drücken Sie diese Gleichung auch verbal aus (Also etwa:“Die Summe der ersten n hm-hm-Zahlen ist gleich…“).

Aufgabe 23

Wie viele Folgen  {a_1,\, a_2, \, \ldots, a_n}  der Länge n gibt es, wenn die einzelnen Folgenglieder a_i genau q Werte annehmen können?

Aufgabe 22

Sei X eine n-elementige Menge.

(a) Geben Sie eine bijektive Abbildung der Menge aller binären Folgen der Länge n auf die Menge aller Teilmengen von X an.

(b) Geben Sie damit einen neuen Beweis für die Tatsache |P(X)|=2^n an.

Aufgabe 21

Eine binäre Folge ist eine Folge, deren Elemente nur 0 und 1 sind. Besteht eine solche Folge aus n Komponenten, so spricht man von einer binären Folge der Länge n. Wie groß ist die Anzahl der binären Folgen der Länge n?

[Hinweis: Wenn Sie das nicht schnell sehen, schreiben Sie alle binären Folgen der Länge 2 und 3 auf; dann erhalten Sie eine Vermutung, die Sie dann „nur noch“ beweisen müssen.]

Aufgabe 19

Studieren Sie den Beweis des Satzes über Potenzmengen genau, und machen Sie sich klar, dass wir mehr bewiesen haben: Es gibt keine surjektive Abbildung von X nach P(X).

Aufgabe 18

Machen Sie sich klar, dass \mathbb{N} und die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 nicht gleichmächtig sind.

Aufgabe 16

Zeigen Sie:

(a) Es gibt unendlich viele Primzahlen.

(b) \mathbb{Z} und die Menge P aller Prinzahlen sind gleichmächtig.