Aufgabe 13

Sei f eine Abbildung einer Menge X in eine Menge Y. Zeigen Sie:

(a) Wenn X endlich ist, so gilt: f ist injektiv \Leftrightarrow f hat genau |X| Bilder

(b) Sind X und Y endlich und ist |X|=|Y|, so gilt:

f ist injektiv  \Leftrightarrow  f ist surjektiv.

(c) (Äquivalenz von Injektivität und Surjektivität) Wenn f eine Abbildung einer endlichen Menge in sich ist, so gilt:

f ist injektiv  \Leftrightarrow  f ist surjektiv  \Leftrightarrow. f ist bijektiv

(d) Zeigen Sie, dass die Aussage (c) falsch ist, wenn X eine unendliche Menge ist. [Wählen Sie zum Beispiel X = \mathbb{Z}.]

Aufgabe 12

Zeigen Sie den Satz über die Bijektivität invertierbarer Abbildungen:

Sei f:X \to Y eine Abbildung. Wenn es eine Abbildung f':Y \to X gibt, so dass gilt

f \circ f' = id_Y  und  f' \circ f = id_X ,

dann ist f bijektiv.

Aufgabe 11

Beschreibem Sie die Begriffe „injektiv“, „surjektiv“ und „bijektiv“ anhand der „alternativen Definition“ einer Abbildung. („Eine Abbildung f \subseteq X \times Y ist injektiv, wenn…“)

Aufgabe 10

Geben Sie Beispiele von Abbildungen f:X \to Y an, die

  • injektiv und surjektiv,
  • injektiv, aber nicht surjektiv,
  • surjektiv, aber nicht injektiv
  • weder injektiv noch surjektiv

sind.

Aufgabe 9

Welche der folgenden Abbildungen f von \mathbb{R} in sich sind injektiv, welche sind surjektiv?

  • f(x)=x^3 ,
  • f(x)=ax^2+bx+c   (a \ne 0) ,
  • f(x) = |x| ,
  • f(x) = e^x.

Aufgabe 8

Welche der folgenden Zuordnungen ist eine Abbildung, welche ist surjektiv, welche injektiv?

  • Mensch \rightarrow Freundin,
  • Mensch \rightarrow Vater,
  • Mensch \rightarrow Handynummer,
  • Mensch \rightarrow Lieblingsessen.

Machen Sie sich jeweils genau klar, welche Mengen Sie als Definitions- und Bildbereich wählen.

Aufgabe 7

Zeigen Sie, dass die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind:

(a) Zwei natürliche Zahlen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Quersumme haben.

(b) Zwei Städte sind äquivalent, wenn man von der einen in die andere per Bahn fahren kann.

Aufgabe 6

(a) Zeigen Sie, dass in der gewöhnlichen euklidischen Ebene folgendes gilt: Wenn drei Punkte einer Geraden g dem gleichen Abstand zu einer Geraden g' haben, so haben alle Punkte von g den gleichen Abstand von g'.

(b) Seien g und g' zwei Geraden der gewöhnlichen euklidischen Ebene, die nicht parallel sind. Zeigen Sie, dass es zwei Punkte von g gibt, die den gleichen Abstand zu g' haben.