Beschreibem Sie die Begriffe „injektiv“, „surjektiv“ und „bijektiv“ anhand der „alternativen Definition“ einer Abbildung. („Eine Abbildung ist injektiv, wenn…“)
Aufgabe 10
Geben Sie Beispiele von Abbildungen an, die
- injektiv und surjektiv,
- injektiv, aber nicht surjektiv,
- surjektiv, aber nicht injektiv
- weder injektiv noch surjektiv
sind.
Aufgabe 9
Welche der folgenden Abbildungen von
in sich sind injektiv, welche sind surjektiv?
,
(
) ,
,
.
Aufgabe 8
Welche der folgenden Zuordnungen ist eine Abbildung, welche ist surjektiv, welche injektiv?
- Mensch
Freundin,
- Mensch
Vater,
- Mensch
Handynummer,
- Mensch
Lieblingsessen.
Machen Sie sich jeweils genau klar, welche Mengen Sie als Definitions- und Bildbereich wählen.
Aufgabe 7
Zeigen Sie, dass die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind:
(a) Zwei natürliche Zahlen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Quersumme haben.
(b) Zwei Städte sind äquivalent, wenn man von der einen in die andere per Bahn fahren kann.
Aufgabe 6
(a) Zeigen Sie, dass in der gewöhnlichen euklidischen Ebene folgendes gilt: Wenn drei Punkte einer Geraden dem gleichen Abstand zu einer Geraden
haben, so haben alle Punkte von
den gleichen Abstand von
.
(b) Seien und
zwei Geraden der gewöhnlichen euklidischen Ebene, die nicht parallel sind. Zeigen Sie, dass es zwei Punkte von
gibt, die den gleichen Abstand zu
haben.
Aufgabe 5
Zeigen Sie im Beweis des Satzes über Äquivalenzklassen, dass gilt.
Aufgabe 4
Geben Sie Beispiele von Relationen auf einer Menge an, die
- reflexiv, symmetrisch, aber nicht transitiv,
- symmetrisch, transitiv, aber nicht reflexiv,
- reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch,
- weder reflexiv, noch symmetrisch, noch transitiv
sind.
Aufgabe 3
Zeigen Sie, dass die in Abschnitt 1.2 angegebenen Äquivalenzrelationen wirklich Äquivalenzrelationen sind.
Aufgabe 2
In meinem Lieblingsrestaurant kann man sich seine Mahlzeit aus folgenden Komponenten selbst zusammenstellen:
(a) Hüftsteak, Rumpsteak, Filetsteak, Rib-Eye-Steak;
(b) Gewicht: 180 g oder 250 g;
(c) Beilagen: Folienkartoffeln, Pommes frites, Kroketten, Bratkartoffeln, weißer Langkornreis, Maiskolben, Knoblauchbrot, rote Bohnen, Zwiebelringe, Champignons;
(d) Sauce: Kräuterbutter, Pfefferrahmsauce, Sauce nach Art Béarnaise.
Wenn ich jeden Monat einmal dort esse: Wie lange brauche ich, um alle Komponenten durchzuprobieren?