Kategorie: Lineare Algebra – Beutelspacher

Beschreibem Sie die Begriffe „injektiv“, „surjektiv“ und „bijektiv“ anhand der „alternativen Definition“ einer Abbildung. („Eine Abbildung ist injektiv, wenn…“)

Geben Sie Beispiele von Abbildungen an, die

• injektiv und surjektiv,
• injektiv, aber nicht surjektiv,
• surjektiv, aber nicht injektiv
• weder injektiv noch surjektiv

sind.

Welche der folgenden Abbildungen von in sich sind injektiv, welche sind surjektiv?

• ,
•   () ,
• ,
• .

Welche der folgenden Zuordnungen ist eine Abbildung, welche ist surjektiv, welche injektiv?

• Mensch Freundin,
• Mensch Vater,
• Mensch Handynummer,
• Mensch Lieblingsessen.

Machen Sie sich jeweils genau klar, welche Mengen Sie als Definitions- und Bildbereich wählen.

Zeigen Sie, dass die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind:

(a) Zwei natürliche Zahlen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Quersumme haben.

(b) Zwei Städte sind äquivalent, wenn man von der einen in die andere per Bahn fahren kann.

(a) Zeigen Sie, dass in der gewöhnlichen euklidischen Ebene folgendes gilt: Wenn drei Punkte einer Geraden dem gleichen Abstand zu einer Geraden haben, so haben alle Punkte von den gleichen Abstand von .

(b) Seien und zwei Geraden der gewöhnlichen euklidischen Ebene, die nicht parallel sind. Zeigen Sie, dass es zwei Punkte von gibt, die den gleichen Abstand zu haben.

Zeigen Sie im Beweis des Satzes über Äquivalenzklassen, dass gilt.

Geben Sie Beispiele von Relationen auf einer Menge an, die

• reflexiv, symmetrisch, aber nicht transitiv,
• symmetrisch, transitiv, aber nicht reflexiv,
• reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch,
• weder reflexiv, noch symmetrisch, noch transitiv

sind.

Zeigen Sie, dass die in Abschnitt 1.2 angegebenen Äquivalenzrelationen wirklich Äquivalenzrelationen sind.

In meinem Lieblingsrestaurant kann man sich seine Mahlzeit aus folgenden Komponenten selbst zusammenstellen:

(a) Hüftsteak, Rumpsteak, Filetsteak, Rib-Eye-Steak;

(b) Gewicht: 180 g oder 250 g;

(c) Beilagen: Folienkartoffeln, Pommes frites, Kroketten, Bratkartoffeln, weißer Langkornreis, Maiskolben, Knoblauchbrot, rote Bohnen, Zwiebelringe, Champignons;

(d) Sauce: Kräuterbutter, Pfefferrahmsauce, Sauce nach Art Béarnaise.

Wenn ich jeden Monat einmal dort esse: Wie lange brauche ich, um alle Komponenten durchzuprobieren?