Aufgabe 11

Beschreibem Sie die Begriffe „injektiv“, „surjektiv“ und „bijektiv“ anhand der „alternativen Definition“ einer Abbildung. („Eine Abbildung f \subseteq X \times Y ist injektiv, wenn…“)

Aufgabe 10

Geben Sie Beispiele von Abbildungen f:X \to Y an, die

  • injektiv und surjektiv,
  • injektiv, aber nicht surjektiv,
  • surjektiv, aber nicht injektiv
  • weder injektiv noch surjektiv

sind.

Aufgabe 9

Welche der folgenden Abbildungen f von \mathbb{R} in sich sind injektiv, welche sind surjektiv?

  • f(x)=x^3 ,
  • f(x)=ax^2+bx+c   (a \ne 0) ,
  • f(x) = |x| ,
  • f(x) = e^x.

Aufgabe 8

Welche der folgenden Zuordnungen ist eine Abbildung, welche ist surjektiv, welche injektiv?

  • Mensch \rightarrow Freundin,
  • Mensch \rightarrow Vater,
  • Mensch \rightarrow Handynummer,
  • Mensch \rightarrow Lieblingsessen.

Machen Sie sich jeweils genau klar, welche Mengen Sie als Definitions- und Bildbereich wählen.

Aufgabe 7

Zeigen Sie, dass die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind:

(a) Zwei natürliche Zahlen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Quersumme haben.

(b) Zwei Städte sind äquivalent, wenn man von der einen in die andere per Bahn fahren kann.

Aufgabe 6

(a) Zeigen Sie, dass in der gewöhnlichen euklidischen Ebene folgendes gilt: Wenn drei Punkte einer Geraden g dem gleichen Abstand zu einer Geraden g' haben, so haben alle Punkte von g den gleichen Abstand von g'.

(b) Seien g und g' zwei Geraden der gewöhnlichen euklidischen Ebene, die nicht parallel sind. Zeigen Sie, dass es zwei Punkte von g gibt, die den gleichen Abstand zu g' haben.

Aufgabe 4

Geben Sie Beispiele von Relationen auf einer Menge X an, die

  • reflexiv, symmetrisch, aber nicht transitiv,
  • symmetrisch, transitiv, aber nicht reflexiv,
  • reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch,
  • weder reflexiv, noch symmetrisch, noch transitiv

sind.

Aufgabe 3

Zeigen Sie, dass die in Abschnitt 1.2 angegebenen Äquivalenzrelationen wirklich Äquivalenzrelationen sind.

Aufgabe 2

In meinem Lieblingsrestaurant kann man sich seine Mahlzeit aus folgenden Komponenten selbst zusammenstellen:

(a) Hüftsteak, Rumpsteak, Filetsteak, Rib-Eye-Steak;

(b) Gewicht: 180 g oder 250 g;

(c) Beilagen: Folienkartoffeln, Pommes frites, Kroketten, Bratkartoffeln, weißer Langkornreis, Maiskolben, Knoblauchbrot, rote Bohnen, Zwiebelringe, Champignons;

(d) Sauce: Kräuterbutter, Pfefferrahmsauce, Sauce nach Art Béarnaise.

Wenn ich jeden Monat einmal dort esse: Wie lange brauche ich, um alle Komponenten durchzuprobieren?