Lineare Algebra – Beutelspacher – Seite 11

15.12.2017

Aufgabe 1

Seien $X$ und $Y$ Mengen, für die gilt:

für alle $x \in X$ gilt $x \notin Y$ .

Folgt daraus $X \ne Y$ ?

08.07.201722.08.2017

Verständnisfrage 5 – Thema: Abbildungen

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Eine Abbildung $f$ von $X$ nach $Y$ ist genau dann injektiv, wenn gilt

aus $x,x' \in X$ und $x \ne x'$ folgt $f(x) \ne f(x')$ ,
zu jedem $y \in Y$ gibt es höchstens ein $x \in X$ mit $f(x)=y$ ,
zu jedem $x \in X$ gibt es genau ein $y \in Y$ mit $f(x)=y$ ,
sind $x,x' \in X$ mit $f(x)=f(x')$ , so ist $x=x'$ .

08.07.201702.09.2017

Verständnisfrage 4 – Thema: Äquivalenzklassen

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Sei $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf der Menge $X$ .

Für jedes $x \in X$ ist die Menge $B(x)=\{y \in X \, \vert \, \text{es gilt nicht} \ y \sim x\}$ eine Äquivalenzklasse von $\sim$ .
Wenn $\sim$ nur zwei Äquivalenzklassen hat, so ist $B(x)$ eine Äquivalenzklasse.
Wenn es ein $x \in X$ gibt, so dass $B(x)$ eine Äquivalenzklasse ist, so hat $\sim$ nur zwei Äquivalenzklassen.
Für alle $x_1,x_2,x_3 \in X$ gilt: Wenn weder $x_1 \sim x_2$ noch $x_2 \sim x_3$ gilt, so gilt auch nicht $x_1 \sim x_3$ .
Für alle $x_1,x_2,x_3 \in X$ gilt: Wenn weder $x_1 \sim x_2$ noch $x_2 \sim x_3$ gilt, so gilt jedenfalls $x_1 \sim x_3$ .

08.07.201722.08.2017

Verständnisfrage 3 – Thema: Äquivalenzrelationen

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Die folgenden Vorschriften definieren eine Äquivalenzrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen:

$\begin{align*} x \sim y \ \Leftrightarrow \ x, y \ \text{gerade}\\ x \sim y \ \Leftrightarrow \ x - y \ \text{gerade}\\ x \sim y \ \Leftrightarrow \ x + y \ \text{gerade}\\ x \sim y \ \Leftrightarrow \ x - y \ \text{ungerade}\\ x \sim y \ \Leftrightarrow \ x + y \ \text{ungerade}\\ \end{align*}$

08.07.201722.08.2017

Verständnisfrage 2 – Thema: Mengen

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Für je zwei Mengen $X$ und $Y$ gilt:

$X \setminus Y = \emptyset \Leftrightarrow X=Y$
$|X \cup Y| = |X| + |Y|$ für alle endlichen Mengen $X$ , $Y$
$X \cup Y$ endlich $\Rightarrow X,\, Y$ endlich
$X \cap Y$ endlich $\Rightarrow X,\, Y$ endlich
Für endliche Mengen $X$ und $Y$ gilt: $|X \cup Y| = |X| + |Y| \Leftrightarrow X \cap Y = \emptyset$

08.07.2017

Verständnisfrage 1 – Thema: Implikationen

Seien $A$ , $B$ und $C$ mathematische Aussagen, für die „ $A \Rightarrow B$ “ und „ $B \Rightarrow C$ “ gilt. Welche der folgenden Implikationen sind dann richtig?

$\begin{align*} A \Rightarrow C\\ B \Rightarrow A\\ C \Rightarrow B\\ C \Rightarrow A\\ \neg A \Rightarrow \neg B\\ \neg B \Rightarrow \neg A\\ \neg C \Rightarrow \neg A\\ \neg A \Rightarrow \neg C \end{align*}$