Aufgabe 17

Sei V der GF(2)-Vektorraum aller Teilmengen einer n-elementigen Menge X (vergleichen Sie Abschn. 3.2.8).

(a) Geben Sie eine Basis von V an.

(b) Gibt es eine Basis von V, deren Elemente Teilmengen von X mit mehr als einem Element sind?

(c) Welche Dimension hat V?

Aufgabe 18

Sei V der GF(2)-Vektorraum aller Teilmengen einer n-elementigen Menge X (vergleichen Sie Abschn. 3.2.8).

(a) Sei W die Menge aller Teilmengen von X, die eine gerade Anzahl von Elementen besitzen. Zeigen Sie: W ist ein Unterraum von V.

(b) Sei Y eine Teilmenge von X ungerader Mächtigkeit. Zeigen Sie, dass W zusammen mit Y bereits ganz V erzeugt. Ist W eine Hyperebene von V?

(c) Wie viele Elemente hat W? Wie viele Elemente von V liegen außerhalb von W? Interpretieren Sie diese Tatsache als Aussage über die Teilmengen einer endlichen Menge.

Aufgabe 15

Sei K ein Körper, und sei n \in \mathbb{N}.

(a) Zeigen Sie, dass die Menge der Einheitsvektoren e_1=(1,0,0,\ldots,0), e_2=(0,1,0,\ldots,0), \ldots, e_n=(0,0,\ldots,0,1) eine Basis von K^n ist.

(b) Welche Dimension hat K^n?

(c) Gibt es eine Basis \{v_1,v_2,\ldots,v_n\} von K^n, bei der v_i genau i von 0 verschiedene Komponenten hat?

Aufgabe 14

Beweisen Sie. Sei B eine Menge von Vektoren eines Vektorraums V. Dann gilt: Genau dann ist B eine Basis von V, wenn B ein minimales Erzeugendensystem ist.

Aufgabe 13

Zeigen Sie: Wenn v_1,\ldots,v_n Elemente eines K-Vektorraums V sind, dann gilt:

(a) Die Summer je zweier Vektoren aus \langle v_1,\ldots, v_n \rangle liegt wieder in \langle v_1,\ldots, v_n \rangle.

(b) Das Produkt eines Skalars k mit einem Vektor aus \langle v_1,\ldots, v_n \rangle liegt wieder in \langle v_1,\ldots, v_n \rangle.

Aufgabe 12

Beweisen Sie folgende Aussagen. Sei V ein K-Vektorraum.

(a) Für alle k \in K, \ v\in V gilt

k \cdot 0 = 0   und   (-k)\cdot v = -(k \cdot v) = k \cdot (-v).

[Überlegen Sie zunächst, in welchen Strukturen das Minuszeichen was bedeutet.]

(b) Für alle k_1,\ k_2 \in K und alle v \in V mit v \ne 0 gilt:

k_1\cdot v= k_2 \cdot v \Leftrightarrow k_1=k_2.

Aufgabe 9

Im Folgenden werden jeweils einige Vektoren des Vektorraums V=\mathbb{R}^3 angegeben. Entscheiden Sie, ob es Vektoren des \mathbb{R}^3  gibt, die nicht im Erzeugnis der angegebenen Vektoren liegen, und geben Sie gegebenenfalls einen solchen Vektor an.

(a) (1,0,0), \ (1,1,1);
(b) (1,0,0),  \ (0,1,0), \ (1,1,1);
(c) (1,0,0), \ (0,-1,0), \ (1,1,-1);
(d) (3,4,7), \ (1,0,3), \ (0,4,-2), \ (3,8,5);
(e) (0.00000000001,0,0), \ (0,0.00000000001,0), \ (0,0,0.00000000001);
(f) (\pi,e,0), \ (e,\pi,0), \ (0,\pi,e).