Seien ,
und
Aussagen. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen logisch äquivalent sind:
1. und
sind äquivalent.
2. und
sind äquivalent.
Seien ,
und
Aussagen. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen logisch äquivalent sind:
1. und
sind äquivalent.
2. und
sind äquivalent.
Wahr oder falsch? Begründe jeweils kurz.
(1) Wenn eine echte Teilmenge einer Menge
ist (d.h.
, aber
), dann gibt es keine bijektive Abbildung von
nach
.
(2) Sind und
endliche Mengen, und ist
, so ist jede Abbildung von
nach
surjektiv.
(3) Ist eine endliche Menge, so gibt es keine bijektive Abbildung von
nach
.
(4) Invers zu ist
.
(5) Sei eine Menge, und seien
und
Abbildungen. Dann gilt
.
(6) Seien ,
und
,
für alle
. Dann gilt
für alle
.
(7) Sei ,
für alle
, und sei
,
für alle
. Dann ist
definiert, und
für alle
.
(8) Seien und
Mengen, und sei
, wobei
eine Primzahl ist. Dann enthält
oder
genau ein Element.
(9) Seien und
Mengen. Wenn
, so folgt
.
(10) Seien Mengen. Dann gilt
.
Sei . Eine binäre Folge der Länge
ist ein Ausdruck der Form
, wobei
für alle
.
1. Bestimmen Sie alle binären Folgen der Länge 1, 2 und 3.
2. Finden Sie eine Formel für die Anzahl der binären Folgen der Länge , wobei
eine feste natürliche Zahl ist, und beweisen Sie diese Formel mit Induktion nach
.
Vorweg eine Definition: Sei . Die Spur von
ist definiert als die Summe der Diagonalelemente von
, also
.
Beweisen Sie folgende Aussagen:
1. Für alle gilt
.
2. Für alle und alle
gilt
.
3. Für alle gilt
.
4. Es gibt keine quadratische Matrizen , für die
gilt.
Sei .
Beweisen Sie, dass die Matrizenmultiplikation eine Verknüpfung auf ist, die assoziativ und kommutativ ist und die ein neutrales Element besitzt.
Finden Sie eine Matrix , für die
gilt.
Dabei ist .
Sei ein Körper und
definiert durch
für alle
.
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen.
1. Die Abbildung ist surjektiv.
2. Die Abbildung ist nicht injektiv.
3. Für alle gilt
.
4. Für alle gilt
.
Seien ,
und
Aussagen. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen logisch äquivalent sind.
1. und
2. und
Seien ,
,
,
und
Matrizen über
.
Welche der folgenden Produkte können gebildet werden?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)