Aufgabe 1.8

Seien A, B und C Aussagen. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen logisch äquivalent sind:

1. (A \land B) \Rightarrow C und (A \Rightarrow C) \lor (B \Rightarrow C) sind äquivalent.

2. (A \lor B) \Rightarrow C und (A \Rightarrow C) \land (B \Rightarrow C) sind äquivalent.

Aufgabe 1.7

Wahr oder falsch? Begründe jeweils kurz.

(1) Wenn X eine echte Teilmenge einer Menge Y ist (d.h. X \subseteq Y, aber X \ne Y), dann gibt es keine bijektive Abbildung von X nach Y.

(2) Sind X und Y endliche Mengen, und ist \vert X \vert > \vert Y\vert, so ist jede Abbildung von X nach Y surjektiv.

(3) Ist X eine endliche Menge, so gibt es keine bijektive Abbildung von X nach X \times X.

(4) Invers zu \begin{pmatrix}1&3 \\ 1 & 4 \end {pmatrix} ist \begin{pmatrix}4&-3 \\ -1 & 1 \end {pmatrix}.

(5) Sei X eine Menge, und seien f:X \to Y und g:Y \to X Abbildungen. Dann gilt {\rm Bild}(g \circ f) \subseteq {\rm Bild}(g).

(6) Seien f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x^2 und g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x^3 für alle x \in \mathbb{R}. Dann gilt (f \circ g)(x)=x^5 für alle x \in \mathbb{R}.

(7) Sei f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}_0, f(x)=x-1 für alle x \in \mathbb{N}, und sei g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, g(x)=x+1 für alle x \in \mathbb{N}. Dann ist f \circ g definiert, und (f \circ g)(x)=x für alle x \in \mathbb{N}.

(8) Seien X und Y Mengen, und sei \vert X \times Y\vert = p, wobei p eine Primzahl ist. Dann enthält X oder Y genau ein Element.

(9) Seien X und Y Mengen. Wenn X \cup Y = X \cap Y, so folgt X=Y.

(10) Seien L, \, M, \, N Mengen. Dann gilt L \times (M \times N)= (L \times M) \times N.

Aufgabe 1.6

Sei n \in \mathbb{N}. Eine binäre Folge der Länge n ist ein Ausdruck der Form (x_1,\ldots,x_n), wobei x_i\in\{0,1\} für alle 1 \le i \le n.

1. Bestimmen Sie alle binären Folgen der Länge 1, 2 und 3.

2. Finden Sie eine Formel für die Anzahl der binären Folgen der Länge n, wobei n eine feste natürliche Zahl ist, und beweisen Sie diese Formel mit Induktion nach n.

Aufgabe 1.5

Vorweg eine Definition: Sei A=(a_{ij}) \in M_{nn}(\mathbb{K}). Die Spur von A ist definiert als die Summe der Diagonalelemente von A, also {\rm Spur}(A)= \sum\limits_{i=1}^n a_{ii}.

Beweisen Sie folgende Aussagen:

1. Für alle A, B \in M_{nn}(\mathbb{K}) gilt {\rm Spur}(A+B)= {\rm Spur}(A)+{\rm Spur}(B).

2. Für alle A \in M_{nn}(\mathbb{K}) und alle a \in \mathbb{K} gilt \ {\rm Spur}(aA) = a\, {\rm Spur}(A).

3. Für alle A, B \in M_{nn}(\mathbb{K}) gilt {\rm Spur}(AB)= {\rm Spur}(BA).

4. Es gibt keine quadratische Matrizen A, B \in M_{nn}(\mathbb{R}), für die AB-BA = I_n gilt.

Aufgabe 1.4

Sei G=\left\{ \left( \begin{array}{cc}a&b \\-b & a \end{array} \right) \ \vert \ a,b \in \mathbb{R} \right\}.

Beweisen Sie, dass die Matrizenmultiplikation eine Verknüpfung auf G ist, die assoziativ und kommutativ ist und die ein neutrales Element besitzt.

Finden Sie eine Matrix A \in G, für die A^2 = -I_2 gilt.
Dabei ist A^2=AA.

Aufgabe 1.3

Sei \mathbb{K} ein Körper und f:M_{22}(\mathbb{K}) \to \mathbb{K} definiert durch \left( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right) \to ad-bc für alle \left( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right) \in M_{22}(\mathbb{K}).

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen.

1. Die Abbildung f ist surjektiv.
2. Die Abbildung f ist nicht injektiv.
3. Für alle A, B \in  M_{22}(\mathbb{K}) gilt f(AB)=f(A)f(B).
4. Für alle A, B \in  M_{22}(\mathbb{K}) gilt f(A+B)=f(A)+f(B).

Aufgabe 1.1

Seien A=\left( \begin{array}{ccc}1& 2& 3 \\1& 2& 3\\1& 2& 3 \end{array} \right), B=\left( \begin{array}{ccc}2& 4& 6 \\2& 2& 2\\5& 4& 3 \end{array} \right), C=\left( \begin{array}{cc}1& 2 \\2& 3\\0& 0 \end{array} \right), D=\left( \begin{array}{cccc}1& 3& 5 &3 \\2& 4& 5 &1\\1& 1& 0 &2 \end{array} \right) und E=\left( \begin{array}{ccc}1& 2& 4 \\6& 0& 7 \end{array} \right) Matrizen über \mathbb{R}.

Welche der folgenden Produkte können gebildet werden?

(1) EC
(2) CE
(3) AD
(4) ED
(5) AE
(6) AA
(7) CC
(8) 3CD
(9) B(CE)
(10) (CE)B