Kurseinheit 1: Grundlagen – Seite 2

20.10.202014.08.2021

Aufgabe 1.8

Seien $A$ , $B$ und $C$ Aussagen. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen logisch äquivalent sind:

1. $(A \land B) \Rightarrow C$ und $(A \Rightarrow C) \lor (B \Rightarrow C)$ sind äquivalent.

2. $(A \lor B) \Rightarrow C$ und $(A \Rightarrow C) \land (B \Rightarrow C)$ sind äquivalent.

20.10.2020

Aufgabe 1.7

Wahr oder falsch? Begründe jeweils kurz.

(1) Wenn $X$ eine echte Teilmenge einer Menge $Y$ ist (d.h. $X \subseteq Y$ , aber $X \ne Y$ ), dann gibt es keine bijektive Abbildung von $X$ nach $Y$ .

(2) Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen, und ist $\vert X \vert > \vert Y\vert$ , so ist jede Abbildung von $X$ nach $Y$ surjektiv.

(3) Ist $X$ eine endliche Menge, so gibt es keine bijektive Abbildung von $X$ nach $X \times X$ .

(4) Invers zu $\begin{pmatrix}1&3 \\ 1 & 4 \end {pmatrix}$ ist $\begin{pmatrix}4&-3 \\ -1 & 1 \end {pmatrix}$ .

(5) Sei $X$ eine Menge, und seien $f:X \to Y$ und $g:Y \to X$ Abbildungen. Dann gilt ${\rm Bild}(g \circ f) \subseteq {\rm Bild}(g)$ .

(6) Seien $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x)=x^2$ und $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x)=x^3$ für alle $x \in \mathbb{R}$ . Dann gilt $(f \circ g)(x)=x^5$ für alle $x \in \mathbb{R}$ .

(7) Sei $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}_0$ , $f(x)=x-1$ für alle $x \in \mathbb{N}$ , und sei $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ , $g(x)=x+1$ für alle $x \in \mathbb{N}$ . Dann ist $f \circ g$ definiert, und $(f \circ g)(x)=x$ für alle $x \in \mathbb{N}$ .

(8) Seien $X$ und $Y$ Mengen, und sei $\vert X \times Y\vert = p$ , wobei $p$ eine Primzahl ist. Dann enthält $X$ oder $Y$ genau ein Element.

(9) Seien $X$ und $Y$ Mengen. Wenn $X \cup Y = X \cap Y$ , so folgt $X=Y$ .

(10) Seien $L, \, M, \, N$ Mengen. Dann gilt $L \times (M \times N)= (L \times M) \times N$ .

04.08.202004.08.2020

Aufgabe 1.6

Sei $n \in \mathbb{N}$ . Eine binäre Folge der Länge $n$ ist ein Ausdruck der Form $(x_1,\ldots,x_n)$ , wobei $x_i\in\{0,1\}$ für alle $1 \le i \le n$ .

1. Bestimmen Sie alle binären Folgen der Länge 1, 2 und 3.

2. Finden Sie eine Formel für die Anzahl der binären Folgen der Länge $n$ , wobei $n$ eine feste natürliche Zahl ist, und beweisen Sie diese Formel mit Induktion nach $n$ .

04.08.202012.10.2020

Aufgabe 1.5

Vorweg eine Definition: Sei $A=(a_{ij}) \in M_{nn}(\mathbb{K})$ . Die Spur von $A$ ist definiert als die Summe der Diagonalelemente von $A$ , also ${\rm Spur}(A)= \sum\limits_{i=1}^n a_{ii}$ .

Beweisen Sie folgende Aussagen:

1. Für alle $A, B \in M_{nn}(\mathbb{K})$ gilt ${\rm Spur}(A+B)= {\rm Spur}(A)+{\rm Spur}(B)$ .

2. Für alle $A \in M_{nn}(\mathbb{K})$ und alle $a \in \mathbb{K}$ gilt $\ {\rm Spur}(aA) = a\, {\rm Spur}(A)$ .

3. Für alle $A, B \in M_{nn}(\mathbb{K})$ gilt ${\rm Spur}(AB)= {\rm Spur}(BA)$ .

4. Es gibt keine quadratische Matrizen $A, B \in M_{nn}(\mathbb{R})$ , für die $AB-BA = I_n$ gilt.

04.08.202004.08.2020

Aufgabe 1.4

Sei $G=\left\{ \left( \begin{array}{cc}a&b \\-b & a \end{array} \right) \ \vert \ a,b \in \mathbb{R} \right\}$ .

Beweisen Sie, dass die Matrizenmultiplikation eine Verknüpfung auf $G$ ist, die assoziativ und kommutativ ist und die ein neutrales Element besitzt.

Finden Sie eine Matrix $A \in G$ , für die $A^2 = -I_2$ gilt.
Dabei ist $A^2=AA$ .

04.08.202004.08.2020

Aufgabe 1.3

Sei $\mathbb{K}$ ein Körper und $f:M_{22}(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ definiert durch $\left( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right) \to ad-bc$ für alle $\left( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right) \in M_{22}(\mathbb{K})$ .

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen.

1. Die Abbildung $f$ ist surjektiv.
2. Die Abbildung $f$ ist nicht injektiv.
3. Für alle $A, B \in M_{22}(\mathbb{K})$ gilt $f(AB)=f(A)f(B)$ .
4. Für alle $A, B \in M_{22}(\mathbb{K})$ gilt $f(A+B)=f(A)+f(B)$ .

04.08.202004.08.2020

Aufgabe 1.2

Seien $A$ , $B$ und $C$ Aussagen. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen logisch äquivalent sind.

1. $A \land (B \lor C)$ und $(A \land B) \lor (A \land C)$

2. $A \lor (B \land C)$ und $(A \lor B) \land (A \lor C)$

04.08.202004.08.2020

Aufgabe 1.1

Seien $A=\left( \begin{array}{ccc}1& 2& 3 \\1& 2& 3\\1& 2& 3 \end{array} \right)$ , $B=\left( \begin{array}{ccc}2& 4& 6 \\2& 2& 2\\5& 4& 3 \end{array} \right)$ , $C=\left( \begin{array}{cc}1& 2 \\2& 3\\0& 0 \end{array} \right)$ , $D=\left( \begin{array}{cccc}1& 3& 5 &3 \\2& 4& 5 &1\\1& 1& 0 &2 \end{array} \right)$ und $E=\left( \begin{array}{ccc}1& 2& 4 \\6& 0& 7 \end{array} \right)$ Matrizen über $\mathbb{R}$ .

Welche der folgenden Produkte können gebildet werden?

(1) $EC$
(2) $CE$
(3) $AD$
(4) $ED$
(5) $AE$
(6) $AA$
(7) $CC$
(8) $3CD$
(9) $B(CE)$
(10) $(CE)B$