Aufgabe 1.16

Sei \mathbb{K} ein Körper. Sei f: M_{22}(\mathbb{K}) \to \mathbb{K} definiert durch \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \to a+d für alle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{22}(\mathbb{K}). Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen:

1. Die Abbildungen f ist surjektiv.

2. Die Abbildung f ist injektiv.

3. Für alle A, B \in M_{22}(\mathbb{K}) gilt f(A+B) = f(A) + f(B).

4. Für alle A\in M_{22}(\mathbb{K}) und alle a \in \mathbb{K} gilt f(aA) = af(A).

Aufgabe 1.13

Man sagt, dass eine Matrix eine Nullzeile besitzt, wenn es eine Zeile gibt, die ausschließlich aus Nullen besteht. Analog wird eine Nullspalte einer Matrix definiert.

Seien A und B beliebige Matrizen, für die AB definiert ist.

Wahr oder falsch? Begründe jeweils kurz.

(1) Wenn A eine Nullzeile hat, dann hat AB eine Nullzeile.

(2) Wenn B eine Nullzeile hat, dann hat AB eine Nullzeile.

(3) Wenn AB eine Nullzeile hat, dann hat A eine Nullzeile.

(4) Wenn AB eine Nullzeile hat, dann hat B eine Nullzeile.

(5) Wenn AB eine Nullzeile hat, dann hat A oder B eine Nullzeile.

(6) Wenn A eine Nullspalte hat, dann hat AB eine Nullspalte.

(7) Wenn B eine Nullspalte hat, dann hat AB eine Nullspalte.

(8) Wenn AB eine Nullspalte hat, dann hat A eine Nullspalte.

(9) Wenn AB eine Nullspalte hat, dann hat B eine Nullspalte.

(10) Wenn AB eine Nullspalte hat, dann hat A oder B eine Nullspalte.

Aufgabe 1.12

Sei \mathbb{K} ein Körper, und sei A \in M_{nn}(\mathbb{K}) eine Matrix, so dass AB=BA für alle B \in M_{nn}(\mathbb{K}) gilt. Beweisen Sie, dass A = aI_n für ein a \in \mathbb{K} ist.

Aufgabe 1.11

Sei f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} definiert durch f(z) = \vert z \vert für alle z \in \mathbb{Z}. Dabei ist \vert z \vert = z, falls z \ge 0, und \vert z \vert = -z, als z<0.

1. Untersuchen Sie, ob f surjektiv beziehungsweise injektiv ist.

2. Sei U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}. Bestimmen Sie f(U):=\{f(u) \ \vert \ u \in U\}, und bestimmen Sie die Menge der Urbilder der Elemente in f(U).

3. Sei V=\{-10,-5,0,10,15\}. Sei W die Menge der Urbilder der Elemente in V unter f. Bestimmen Sie die Elemente in W und in f(W):=\{f(w) \ \vert \ w \in W\}.

Aufgabe 1.9

Beweisen Sie folgende Formeln mit vollständiger Induktion:

1. Für alle n \in \mathbb{N} gilt \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1}.

2. Für alle n \in \mathbb{N} gilt \sum\limits_{k=1}^n 2 \cdot 3^{k-1}=3^n -1.

Aufgabe 1.8

Seien A, B und C Aussagen. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen logisch äquivalent sind:

1. (A \land B) \Rightarrow C und (A \Rightarrow C) \lor (B \Rightarrow C) sind äquivalent.

2. (A \lor B) \Rightarrow C und (A \Rightarrow C) \land (B \Rightarrow C) sind äquivalent.

Aufgabe 1.7

Wahr oder falsch? Begründe jeweils kurz.

(1) Wenn X eine echte Teilmenge einer Menge Y ist (d.h. X \subseteq Y, aber X \ne Y), dann gibt es keine bijektive Abbildung von X nach Y.

(2) Sind X und Y endliche Mengen, und ist \vert X \vert > \vert Y\vert, so ist jede Abbildung von X nach Y surjektiv.

(3) Ist X eine endliche Menge, so gibt es keine bijektive Abbildung von X nach X \times X.

(4) Invers zu \begin{pmatrix}1&3 \\ 1 & 4 \end {pmatrix} ist \begin{pmatrix}4&-3 \\ -1 & 1 \end {pmatrix}.

(5) Sei X eine Menge, und seien f:X \to Y und g:Y \to X Abbildungen. Dann gilt {\rm Bild}(g \circ f) \subseteq {\rm Bild}(g).

(6) Seien f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x^2 und g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x^3 für alle x \in \mathbb{R}. Dann gilt (f \circ g)(x)=x^5 für alle x \in \mathbb{R}.

(7) Sei f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}_0, f(x)=x-1 für alle x \in \mathbb{N}, und sei g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, g(x)=x+1 für alle x \in \mathbb{N}. Dann ist f \circ g definiert, und (f \circ g)(x)=x für alle x \in \mathbb{N}.

(8) Seien X und Y Mengen, und sei \vert X \times Y\vert = p, wobei p eine Primzahl ist. Dann enthält X oder Y genau ein Element.

(9) Seien X und Y Mengen. Wenn X \cup Y = X \cap Y, so folgt X=Y.

(10) Seien L, \, M, \, N Mengen. Dann gilt L \times (M \times N)= (L \times M) \times N.