Fernuni Hagen – Mathematische Grundlagen – Seite 3

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Aufgabe 1.16

Sei $\mathbb{K}$ ein Körper. Sei $f: M_{22}(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ definiert durch $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \to a+d$ für alle $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{22}(\mathbb{K})$ . Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen:

1. Die Abbildungen $f$ ist surjektiv.

2. Die Abbildung $f$ ist injektiv.

3. Für alle $A, B \in M_{22}(\mathbb{K})$ gilt $f(A+B) = f(A) + f(B)$ .

4. Für alle $A\in M_{22}(\mathbb{K})$ und alle $a \in \mathbb{K}$ gilt $f(aA) = af(A)$ .

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Aufgabe 1.15

Sei $A= \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 6&7&8&9&10 \\ 0&0&1&0&0 \end{pmatrix} \in M_{35}(\mathbb{R})$ .

Berechnen Sie eine $3 \times 3$ -Matrix $S$ , so dass $SA= \begin{pmatrix} 6&7&0&9&10 \\ 1&2&0&4&5 \\ 0&0&1&0&0 \end{pmatrix}$ ist.

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Aufgabe 1.14

Seien $A$ , $B$ und $C$ Aussagen. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen logisch äquivalent sind:

1. $A \Rightarrow (B \land C)$ und $(A \Rightarrow B) \land (A \Rightarrow C)$

2. $A \Rightarrow (B \lor C)$ und $(A \Rightarrow B) \lor (A \Rightarrow C)$

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Aufgabe 1.13

Man sagt, dass eine Matrix eine Nullzeile besitzt, wenn es eine Zeile gibt, die ausschließlich aus Nullen besteht. Analog wird eine Nullspalte einer Matrix definiert.

Seien $A$ und $B$ beliebige Matrizen, für die $AB$ definiert ist.

Wahr oder falsch? Begründe jeweils kurz.

(1) Wenn $A$ eine Nullzeile hat, dann hat $AB$ eine Nullzeile.

(2) Wenn $B$ eine Nullzeile hat, dann hat $AB$ eine Nullzeile.

(3) Wenn $AB$ eine Nullzeile hat, dann hat $A$ eine Nullzeile.

(4) Wenn $AB$ eine Nullzeile hat, dann hat $B$ eine Nullzeile.

(5) Wenn $AB$ eine Nullzeile hat, dann hat $A$ oder $B$ eine Nullzeile.

(6) Wenn $A$ eine Nullspalte hat, dann hat $AB$ eine Nullspalte.

(7) Wenn $B$ eine Nullspalte hat, dann hat $AB$ eine Nullspalte.

(8) Wenn $AB$ eine Nullspalte hat, dann hat $A$ eine Nullspalte.

(9) Wenn $AB$ eine Nullspalte hat, dann hat $B$ eine Nullspalte.

(10) Wenn $AB$ eine Nullspalte hat, dann hat $A$ oder $B$ eine Nullspalte.

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Aufgabe 1.12

Sei $\mathbb{K}$ ein Körper, und sei $A \in M_{nn}(\mathbb{K})$ eine Matrix, so dass $AB=BA$ für alle $B \in M_{nn}(\mathbb{K})$ gilt. Beweisen Sie, dass $A = aI_n$ für ein $a \in \mathbb{K}$ ist.

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Aufgabe 1.11

Sei $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ definiert durch $f(z) = \vert z \vert$ für alle $z \in \mathbb{Z}$ . Dabei ist $\vert z \vert = z$ , falls $z \ge 0$ , und $\vert z \vert = -z$ , als $z<0$ .

1. Untersuchen Sie, ob $f$ surjektiv beziehungsweise injektiv ist.

2. Sei $U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ . Bestimmen Sie $f(U):=\{f(u) \ \vert \ u \in U\}$ , und bestimmen Sie die Menge der Urbilder der Elemente in $f(U)$ .

3. Sei $V=\{-10,-5,0,10,15\}$ . Sei $W$ die Menge der Urbilder der Elemente in $V$ unter $f$ . Bestimmen Sie die Elemente in $W$ und in $f(W):=\{f(w) \ \vert \ w \in W\}$ .

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Aufgabe 1.10

Bestimmen Sie alle Matrizen $A \in M_{22}(\mathbb{R})$ , für die $A \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} A$ gilt.

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Aufgabe 1.9

Beweisen Sie folgende Formeln mit vollständiger Induktion:

1. Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1}$ .

2. Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $\sum\limits_{k=1}^n 2 \cdot 3^{k-1}=3^n -1$ .

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Aufgabe 1.8

Seien $A$ , $B$ und $C$ Aussagen. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen logisch äquivalent sind:

1. $(A \land B) \Rightarrow C$ und $(A \Rightarrow C) \lor (B \Rightarrow C)$ sind äquivalent.

2. $(A \lor B) \Rightarrow C$ und $(A \Rightarrow C) \land (B \Rightarrow C)$ sind äquivalent.

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Aufgabe 1.7

Wahr oder falsch? Begründe jeweils kurz.

(1) Wenn $X$ eine echte Teilmenge einer Menge $Y$ ist (d.h. $X \subseteq Y$ , aber $X \ne Y$ ), dann gibt es keine bijektive Abbildung von $X$ nach $Y$ .

(2) Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen, und ist $\vert X \vert > \vert Y\vert$ , so ist jede Abbildung von $X$ nach $Y$ surjektiv.

(3) Ist $X$ eine endliche Menge, so gibt es keine bijektive Abbildung von $X$ nach $X \times X$ .

(4) Invers zu $\begin{pmatrix}1&3 \\ 1 & 4 \end {pmatrix}$ ist $\begin{pmatrix}4&-3 \\ -1 & 1 \end {pmatrix}$ .

(5) Sei $X$ eine Menge, und seien $f:X \to Y$ und $g:Y \to X$ Abbildungen. Dann gilt ${\rm Bild}(g \circ f) \subseteq {\rm Bild}(g)$ .

(6) Seien $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x)=x^2$ und $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x)=x^3$ für alle $x \in \mathbb{R}$ . Dann gilt $(f \circ g)(x)=x^5$ für alle $x \in \mathbb{R}$ .

(7) Sei $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}_0$ , $f(x)=x-1$ für alle $x \in \mathbb{N}$ , und sei $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ , $g(x)=x+1$ für alle $x \in \mathbb{N}$ . Dann ist $f \circ g$ definiert, und $(f \circ g)(x)=x$ für alle $x \in \mathbb{N}$ .