Sei ein Körper. Sei
definiert durch
für alle
. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen:
1. Die Abbildungen ist surjektiv.
2. Die Abbildung ist injektiv.
3. Für alle gilt
.
4. Für alle und alle
gilt
.
Sei ein Körper. Sei
definiert durch
für alle
. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen:
1. Die Abbildungen ist surjektiv.
2. Die Abbildung ist injektiv.
3. Für alle gilt
.
4. Für alle und alle
gilt
.
Sei .
Berechnen Sie eine -Matrix
, so dass
ist.
Seien ,
und
Aussagen. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen logisch äquivalent sind:
1. und
2. und
Man sagt, dass eine Matrix eine Nullzeile besitzt, wenn es eine Zeile gibt, die ausschließlich aus Nullen besteht. Analog wird eine Nullspalte einer Matrix definiert.
Seien und
beliebige Matrizen, für die
definiert ist.
Wahr oder falsch? Begründe jeweils kurz.
(1) Wenn eine Nullzeile hat, dann hat
eine Nullzeile.
(2) Wenn eine Nullzeile hat, dann hat
eine Nullzeile.
(3) Wenn eine Nullzeile hat, dann hat
eine Nullzeile.
(4) Wenn eine Nullzeile hat, dann hat
eine Nullzeile.
(5) Wenn eine Nullzeile hat, dann hat
oder
eine Nullzeile.
(6) Wenn eine Nullspalte hat, dann hat
eine Nullspalte.
(7) Wenn eine Nullspalte hat, dann hat
eine Nullspalte.
(8) Wenn eine Nullspalte hat, dann hat
eine Nullspalte.
(9) Wenn eine Nullspalte hat, dann hat
eine Nullspalte.
(10) Wenn eine Nullspalte hat, dann hat
oder
eine Nullspalte.
Sei ein Körper, und sei
eine Matrix, so dass
für alle
gilt. Beweisen Sie, dass
für ein
ist.
Sei definiert durch
für alle
. Dabei ist
, falls
, und
, als
.
1. Untersuchen Sie, ob surjektiv beziehungsweise injektiv ist.
2. Sei . Bestimmen Sie
, und bestimmen Sie die Menge der Urbilder der Elemente in
.
3. Sei . Sei
die Menge der Urbilder der Elemente in
unter
. Bestimmen Sie die Elemente in
und in
.
Bestimmen Sie alle Matrizen , für die
gilt.
Beweisen Sie folgende Formeln mit vollständiger Induktion:
1. Für alle gilt
.
2. Für alle gilt
.
Seien ,
und
Aussagen. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen logisch äquivalent sind:
1. und
sind äquivalent.
2. und
sind äquivalent.
Wahr oder falsch? Begründe jeweils kurz.
(1) Wenn eine echte Teilmenge einer Menge
ist (d.h.
, aber
), dann gibt es keine bijektive Abbildung von
nach
.
(2) Sind und
endliche Mengen, und ist
, so ist jede Abbildung von
nach
surjektiv.
(3) Ist eine endliche Menge, so gibt es keine bijektive Abbildung von
nach
.
(4) Invers zu ist
.
(5) Sei eine Menge, und seien
und
Abbildungen. Dann gilt
.
(6) Seien ,
und
,
für alle
. Dann gilt
für alle
.
(7) Sei ,
für alle
, und sei
,
für alle
. Dann ist
definiert, und
für alle
.
(8) Seien und
Mengen, und sei
, wobei
eine Primzahl ist. Dann enthält
oder
genau ein Element.
(9) Seien und
Mengen. Wenn
, so folgt
.
(10) Seien Mengen. Dann gilt
.