Fernuni Hagen – Mathematische Grundlagen – Seite 4

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Aufgabe 1.6

Sei $n \in \mathbb{N}$ . Eine binäre Folge der Länge $n$ ist ein Ausdruck der Form $(x_1,\ldots,x_n)$ , wobei $x_i\in\{0,1\}$ für alle $1 \le i \le n$ .

1. Bestimmen Sie alle binären Folgen der Länge 1, 2 und 3.

2. Finden Sie eine Formel für die Anzahl der binären Folgen der Länge $n$ , wobei $n$ eine feste natürliche Zahl ist, und beweisen Sie diese Formel mit Induktion nach $n$ .

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Aufgabe 1.5

Vorweg eine Definition: Sei $A=(a_{ij}) \in M_{nn}(\mathbb{K})$ . Die Spur von $A$ ist definiert als die Summe der Diagonalelemente von $A$ , also ${\rm Spur}(A)= \sum\limits_{i=1}^n a_{ii}$ .

Beweisen Sie folgende Aussagen:

1. Für alle $A, B \in M_{nn}(\mathbb{K})$ gilt ${\rm Spur}(A+B)= {\rm Spur}(A)+{\rm Spur}(B)$ .

2. Für alle $A \in M_{nn}(\mathbb{K})$ und alle $a \in \mathbb{K}$ gilt $\ {\rm Spur}(aA) = a\, {\rm Spur}(A)$ .

3. Für alle $A, B \in M_{nn}(\mathbb{K})$ gilt ${\rm Spur}(AB)= {\rm Spur}(BA)$ .

4. Es gibt keine quadratische Matrizen $A, B \in M_{nn}(\mathbb{R})$ , für die $AB-BA = I_n$ gilt.

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Aufgabe 1.4

Sei $G=\left\{ \left( \begin{array}{cc}a&b \\-b & a \end{array} \right) \ \vert \ a,b \in \mathbb{R} \right\}$ .

Beweisen Sie, dass die Matrizenmultiplikation eine Verknüpfung auf $G$ ist, die assoziativ und kommutativ ist und die ein neutrales Element besitzt.

Finden Sie eine Matrix $A \in G$ , für die $A^2 = -I_2$ gilt.
Dabei ist $A^2=AA$ .

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Sei $\mathbb{K}$ ein Körper und $f:M_{22}(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ definiert durch $\left( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right) \to ad-bc$ für alle $\left( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right) \in M_{22}(\mathbb{K})$ .

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen.

1. Die Abbildung $f$ ist surjektiv.
2. Die Abbildung $f$ ist nicht injektiv.
3. Für alle $A, B \in M_{22}(\mathbb{K})$ gilt $f(AB)=f(A)f(B)$ .
4. Für alle $A, B \in M_{22}(\mathbb{K})$ gilt $f(A+B)=f(A)+f(B)$ .

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Aufgabe 1.2

Seien $A$ , $B$ und $C$ Aussagen. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen logisch äquivalent sind.

1. $A \land (B \lor C)$ und $(A \land B) \lor (A \land C)$

2. $A \lor (B \land C)$ und $(A \lor B) \land (A \lor C)$

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Aufgabe 1.1

Seien $A=\left( \begin{array}{ccc}1& 2& 3 \\1& 2& 3\\1& 2& 3 \end{array} \right)$ , $B=\left( \begin{array}{ccc}2& 4& 6 \\2& 2& 2\\5& 4& 3 \end{array} \right)$ , $C=\left( \begin{array}{cc}1& 2 \\2& 3\\0& 0 \end{array} \right)$ , $D=\left( \begin{array}{cccc}1& 3& 5 &3 \\2& 4& 5 &1\\1& 1& 0 &2 \end{array} \right)$ und $E=\left( \begin{array}{ccc}1& 2& 4 \\6& 0& 7 \end{array} \right)$ Matrizen über $\mathbb{R}$ .