Aufgabe 2

Es sei f: X \to Y eine Abbildung zwischen Mengen. Man zeige für Teilmengen M_1,\, M_2 \subset X und N_1,\, N_2 \subset Y:

(i) f(M_1 \cup M_2) = f(M_1) \cup f(M_2)

(ii) f(M_1\cap M_2) \subset f(M_1) \cap f(M_2)

(iii) f^{-1}(N_1 \cup N_2) = f^{-1}(N_1) \cup f^{-1}(N_2)

(iv) f^{-1}(N_1 \cap N_2) = f^{-1}(N_1) \cap f^{-1}(N_2)

Gilt in (ii) sogar Gleichheit?

Aufgabe 38-40

Sind reine Leseaufgaben, daher stelle ich sie hier nicht. Sollte man aber ruhig mal machen!

Aufgabe 37

Eine reelle n \times n-Matrix wird ein magisches Quadrat der Ordnung n genannt, wenn die Summe der Elemente in jeder Zeile und jeder Spalte gleich sind.

(a) Zeigen Sie, dass die Menge aller quadratischen Quadrate der Ordnung n einen Vektorraum bilden.

(b) Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums der magischen Quadrate der Ordnung 3. Geben Sie eine Basis dieses Vektorraums an. [Hinweis: Es gibt eine Basis aus Matrizen, die in jeder Zeile und jeder Spalte nur eine Eins (und sonst Nullen) enthalten.]

(c) Versuchen Sie, (b) zu verallgemeinern.

Aufgabe 36

Sei V die Menge aller unendlichen Folgen (a_1,a_2,a_3,\ldots) reeller Zahlen mit der Eigenschaft a_i=a_{i-2} + a_{i-1} für i \ge 3.

(a) Zeigen Sie, dass V zusammen mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum ist.

(b) Welche Dimension hat V?

(c) Können Sie eine Basis von V angeben?

Aufgabe 35

Welche Dimension hat der von den Vektoren (1,2,t+2), (-1,t+1,t), (0,t,1) erzeugte Unterraum von \mathbb{R}^3 (t \in \mathbb{R})?

[Hinweis: Achtung!]

Aufgabe 34

(a) Zeigen Sie, dass die Menge B:=\{(1,2,3,4), (2,0,1,-1), (-1,0,0,1), (0,2,3,0)\} eine Basis des Vektorraums \mathbb{R}^4 ist.

(b) Ergänzen Sie die Menge \{(0,4,5,9),(3,3,3,3)\} durch Vektoren aus B zu einer Basis von \mathbb{R}^4.

Aufgabe 33

(a) Sei \{v_1,v_2,v_3\} eine Basis eines 3-dimensionalen \mathbb{R}-Vektorraums V. Zeigen Sie, dass dann auch die Menge \{c_1,c_2,c_3\} eine Basis ist mit

c_1:= 3v_1+v_2+2v_3 ,

c_2:=v_1+v_2+v_3 ,

c_3:=v_1+v_2+2v_3 .

(b) Gilt diese Aussage auch noch, wenn man als K den Körper GF(2) oder GF(3) wählt?