Aufgabe 38-40

Sind reine Leseaufgaben, daher stelle ich sie hier nicht. Sollte man aber ruhig mal machen!

Aufgabe 37

Eine reelle n \times n-Matrix wird ein magisches Quadrat der Ordnung n genannt, wenn die Summe der Elemente in jeder Zeile und jeder Spalte gleich sind.

(a) Zeigen Sie, dass die Menge aller quadratischen Quadrate der Ordnung n einen Vektorraum bilden.

(b) Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums der magischen Quadrate der Ordnung 3. Geben Sie eine Basis dieses Vektorraums an. [Hinweis: Es gibt eine Basis aus Matrizen, die in jeder Zeile und jeder Spalte nur eine Eins (und sonst Nullen) enthalten.]

(c) Versuchen Sie, (b) zu verallgemeinern.

Aufgabe 36

Sei V die Menge aller unendlichen Folgen (a_1,a_2,a_3,\ldots) reeller Zahlen mit der Eigenschaft a_i=a_{i-2} + a_{i-1} für i \ge 3.

(a) Zeigen Sie, dass V zusammen mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum ist.

(b) Welche Dimension hat V?

(c) Können Sie eine Basis von V angeben?

Aufgabe 35

Welche Dimension hat der von den Vektoren (1,2,t+2), (-1,t+1,t), (0,t,1) erzeugte Unterraum von \mathbb{R}^3 (t \in \mathbb{R})?

[Hinweis: Achtung!]

Aufgabe 34

(a) Zeigen Sie, dass die Menge B:=\{(1,2,3,4), (2,0,1,-1), (-1,0,0,1), (0,2,3,0)\} eine Basis des Vektorraums \mathbb{R}^4 ist.

(b) Ergänzen Sie die Menge \{(0,4,5,9),(3,3,3,3)\} durch Vektoren aus B zu einer Basis von \mathbb{R}^4.

Aufgabe 33

(a) Sei \{v_1,v_2,v_3\} eine Basis eines 3-dimensionalen \mathbb{R}-Vektorraums V. Zeigen Sie, dass dann auch die Menge \{c_1,c_2,c_3\} eine Basis ist mit

c_1:= 3v_1+v_2+2v_3 ,

c_2:=v_1+v_2+v_3 ,

c_3:=v_1+v_2+2v_3 .

(b) Gilt diese Aussage auch noch, wenn man als K den Körper GF(2) oder GF(3) wählt?

Aufgabe 32

Sei \{v_1,\ v_2\} eine Basis eines 2-dimensionalen \mathbb{R}-Vektorraums V. Für welche reellen Zahlen s,\ t ist die Menge \{w_1,\ w_2\} mit

w_1:=s v_1 + v_2 ,

w_2:= v_1 + tv_2

ebenfalls eine Basis von V?

Aufgabe 31

Zeigen Sie, dass für jeden Unterraum U eines Vektorraums V die Struktur V/U ein Vektorraum ist.

Aufgabe 30

Sei U ein Unterraum des K-Vektorraums V. Zeigen Sie: Das mengentheoretische Komplement von U in V (siehe Abschn. 1.1) ist nie ein Unterraum.

Aufgabe 29

Seien U und U' Unterräume des Vektorraums V.

(a) Untersuche, dann die mengentheoretische Vereinigung U \cup U ' (also nicht das Erzeugnis!) von U und U' ein Unterraum von V ist.

(b) Wann ist U \cup U' = \langle U, U' \rangle?