Aufgabe 7

Wir stellen uns eine Balkenwaage vor, die man an drei Stellen mit Gewichten belasten kann; diese Stellen seien 20 cm links vom Aufhängepunkt und 5 bzw. 10 cm rechts vom Aufhängepunkt.

(a) Geben Sie zwei Gewichtssätze an, bei denen die Waage im Gleichgewicht ist.

(b) Zeigen Sie, dass die Menge aller Gewichtssätze, bei denen die Waage im Gleichgewicht ist, bezüglich komponentenweise Verknüpfungen ein reeller Vektorraum ist. (Dabei muss man allerdings auch negative Gewichte zulassen.)

(c) Welche Dimension hat dieser Vektorraum?

Aufgabe 6

Zeigen Sie:

Ist g eine Gerade der euklidischen Ebene \mathbb{R}^2, die nicht durch den Nullpunkt geht, so ist g kein Vektorraum.

Aufgabe 5

Zeigen Sie:

(a) Ist g eine Gerade der euklidischen Ebene \mathbb{R}^2 durch den Nullpunkt, so ist g ein Vektorraum.

(b) Sei E eine Ebene des \mathbb{R}^3 durch den Nullpunkt. Dann ist E ein Vektorraum.

Aufgabe 4

Welche der folgenden Teilmengen U von \mathbb{R}^n ist ein Vektorraum?

(1) U = \{(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1=x_2= \cdots = x_n\},

(2) U = \{(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1=1\},

(3) U = \{(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1=0\},

(4) U = \{(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1^2=0\},

(5) U = \{(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1^2-x_2^2=0\},

Aufgabe 3

Zeigen Sie, dass die Menge der Lösungen (x,y,z) des reellen Gleichungssystems

5x-3y+21z=0

3x + 7y + 12z=0

x-30y+6z=0

einen Vektorraum bilden. Wie viele „Freiheitsgrade“ hat dieser Vektorraum?

Aufgabe 2

Wie können Addition und skalare Multiplikation definiert werden, so dass die folgenden Mengen zu Vektorräumen werden?

V_1=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n) | x_i \in \mathbb{R}\},

V_2=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n) | x_i \in \{0,1\}\},

V_3=\{f|f \ \textrm{stetige Abbildung auf} \ (a,b)\}.

Aufgabe 1

Weisen Sie für mindestens zwei Beispiele aus Abschnitt 3.2 die Vektorraumaxiome explizit nach.

Verständnisfrage 7 – Thema: Faktorraum

Ist der Faktorraum von V nach U ist

(1) eine Menge von Vektoren aus U,
(2) ein Unterraum von V,
(3) ein Vektorraum,
(4) eine Nebenklasse von U,
(5) eine Menge von Nebenklasse?

Welche der Aussagen sind korrekt?

(6) Aus v+U=U folgt v=0, weil 0+U=U gilt.
(7) Aus v+U=U folgt v=0, weil v+U=0+U gilt.
(8) Aus v+U=U folgt v=0, weil man auf beiden Seiten -U addieren kann.
(9) Aus v+U=U folgt v \in U.

Verständnisfrage 6 – Thema: Nebenklassen

Sei U ein Unterraum des Vektorraums V. Welche Aussagen sind dann richtig?

(1) Jede Nebenklasse ist ein Unterraum.
(2) Jeder Unterraum ist eine Nebenklasse.
(3) Die leere Menge ist eine Nebenklasse.
(4) Es ist möglich, dass eine Nebenklasse von U in V in einer anderen enthalten ist.
(5) Zu jedem Unterraum gehören mindestens zwei Nebenklassen.
(6) Jeder Unterraum von \mathbb{R}^3 hat unendlich viele Nebenklassen.