Aufgabe 1

Seien X und Y Mengen, für die gilt:

für alle x \in X gilt x \notin Y .

Folgt daraus X \ne Y ?

Verständnisfrage 4 – Thema: Äquivalenzklassen

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Sei \sim eine Äquivalenzrelation auf der Menge X.

  • Für jedes x \in X ist die Menge B(x)=\{y \in X \, \vert \, \text{es gilt nicht} \ y \sim x\} eine Äquivalenzklasse von  \sim.
  • Wenn \sim nur zwei Äquivalenzklassen hat, so ist B(x) eine Äquivalenzklasse.
  • Wenn es ein x \in X gibt, so dass B(x) eine Äquivalenzklasse ist, so hat \sim nur zwei Äquivalenzklassen.
  • Für alle x_1,x_2,x_3 \in X gilt: Wenn weder x_1 \sim x_2 noch x_2 \sim x_3 gilt, so gilt auch nicht x_1 \sim x_3.
  • Für alle x_1,x_2,x_3 \in X gilt: Wenn weder x_1 \sim x_2 noch x_2 \sim x_3 gilt, so gilt jedenfalls x_1 \sim x_3.

Beispielaufgabe

Definitionen

Eine Gruppe ist ein Paar (G, *) bestehend aus einer Menge G und einer inneren zweistelligen Verknüpfung * auf G. Das heißt, durch * wird die Abbildung * : G \times G \to G, (a,b) \mapsto a * b beschrieben. Erfüllt die Verknüpfung die folgenden Axiome, dann wird (G,*) Gruppe genannt:

    \begin{align*}   \text{Assoziativit\"at:}\quad  &\forall a, b, c \in G: (a* b) * c = a * (b * c) \\   \text{Neutrales Element:}\quad  &\exists e\in G: \forall a\in G: a * e = e * a = a \\   \text{Inverses Element:}\quad  &\forall a \in G \exists a^{-1} \in G: a * a^{-1} = a^{-1} * a = e \end{align*}

Gilt zusätzlich

    \begin{align*}   \text{Kommutativit\"at:}\quad  &\forall a, b \in G: a*b = b*a \, , \end{align*}

so heißt die Gruppe kommutativ oder abelsch.

Oftmals schreiben wir kurz ab für das Element a* b und G := (G,*) für die Gruppe.

Unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements g \in G versteht man die kleinste natürliche Zahl n > 0, für die g^{n}=e gilt.

Übungsaufgabe

Zeige, dass eine Gruppe, in der jedes Element (außer e) die Ordnung 2 hat, abelsch ist.

Rhombus ist wieder da!

Nach einem längeren Dornröschenschlaf wird es bald wieder neue Aktivitäten bei Rhombus geben! Nähere Informationen folgen demnächst – seid gespannt!

Auf dieser Plattform wird auch \LaTeX wieder zur Verfügung stehen – sodass wunderschöne Formeln wie

    \[a^2+b^2=c^2 - 2ab\cdot\cos\gamma\]

problemlos in den Trainings verwendet werden können.