Aufgabe 13

Sei n eine natürliche Zahl. Wie viele Tripel (k_1,k_2,k_3) natürlicher Zahlen gibt es, die

k_1+k_2+k_3=n

erfüllen?

Aufgabe 12

Ersetzt man im Pascalschen Dreieck die Einträge durch kleine rechteckige weiße und schwarze Kästchen, je nachdem der entsprechende Binomial-Koeffizient gerade oder ungerade ist, so entsteht eine interessante Figur, siehe Bild 1.1.

Wir bezeichnen das Kästchen, das dem Binomial-Koeffizienten {k \choose l} entspricht, mit (k,l). In der Figur sind alle Kästchen (k,l) bis k=63 dargestellt. Man beweise dazu:

a) {{2^n-1} \choose l ist ungerade für alle 0 \le l \le 2^n-1, d.h. die Zelle mit k=2^n -1 ist vollständig schwarz.

b) {2^n \choose l} ist gerade für alle 1 \le l \le 2^n-1.

c) {{2^n+l} \choose l} ist ungerade für alle 0 \le l \le 2^n-1.

d) Das Dreieck mit den Ecken (0,0), (2^n-1,0), (2^n-1,2^n-1) geht durch Verschiebung (k,l) \mapsto (2^n+k,l) in das Dreieck (2^n,0), (2^{2n}-1,0), (2^{2n}-1,2^n-1) mit demselben Farbmuster über.

e) Das Dreieck mit den Ecken (0,0), (2^n-1,0), (2^n-1,2^n-1) weist außerdem eine Symmetrie bzgl. Drehungen um den Mittelpunkt mit Winkel 120 Grad und 240 Grad auf,  genauer: Durch die Transformation

(k,l) \mapsto (2^n-1-l,k-l) ,    (0 \le l \le k \le 2^n-1)

geht das Dreieck unter Erhaltung des Farbmusters in sich über, d.h. die Binomialkoeffizienten

{k \choose l}    und    {{2^n-1-l} \choose {k-l}

sind entweder beide gerade oder beide ungerade.

Aufgabe 11

Für eine reelle Zahl x und eine natürliche Zahl k werde definiert

{x \choose k}:= \prod\limits_{j=1}^k \frac{x-j+1}{j} = \frac{x(x-1)\cdot \ldots \cdot (x-k+1)}{k!} ,

insbesondere {x \choose 0}=1. Man beweise für alle reellen Zahlen x,\, y und alle natürlichen Zahlen n

{{x+y} \choose n} = \sum\limits_{k=0}^n {x \choose {n-k}}{y \choose k}.

Aufgabe 10

Man beweise: Eine n-elementige Menge (n>0) besitzt ebenso viele Teilmengen mit einer geraden Zahl von Elementen wie Teilmengen mit einer ungeraden Zahl von Elementen.

Aufgabe 8

Seien a_0,\, a_1,\ldots,a_n und b_0,\, b_1,\ldots,b_n reelle Zahlen und

A_k := \sum\limits_{i=0}^k a_i   ,   B_k := \sum\limits_{i=0}^k b_i    für k=0,\,1,\ldots,n.

Man beweise (Abelsche partielle Summation):

\sum\limits_{k=0}^n A_kb_k = A_nB_n - \sum\limits_{k=0}^{n-1}a_{k+1}B_k.

Aufgabe 5

Es sei r eine natürliche Zahl. Man zeige:

Es gibt rationale Zahlen a_{r1},\ldots,a_{rr} so, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:

\sum\limits_{k=1}^n k^r = \frac{1}{r+1}n^{r+1} + a_{rr}n^r + \ldots + a_{r1} n.