Aufgabe 1.4.7

Beweisen Sie die Aussagen (2), (3) und die zweite Aussage von (4) in 1.2.6. Fertigen Sie Skizzen wie in 1.4.6 (4) an, und machen Sie sich die Aussagen anschaulich klar!

Aufgabe 1.4.5

Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr und welche falsch sind.
(1) 5 ist kleiner als 10 oder 5 ist eine Primzahl.
(2) 5 ist kleiner als 7 oder 5 ist eine gerade natürliche Zahl.
(3) 5 ist eine Primzahl und 7 ist eine gerade, natürliche Zahl.
(4) 5 ist eine positive rationale Zahl und 5 ist eine ungerade natürliche Zahl.
(5) 5 ist eine positive rationale Zahl oder 5 ist eine ungerade natürliche Zahl.
(6) 11 ist durch 3 teilbar oder 14 ist eine Primzahl.

Aufgabe 1.3.4

M ist eine Menge. Beweisen Sie:

Wenn M \subset \emptyset ist, dann ist M= \emptyset.

Gilt auch die Umkehrung dieser Behauptung:

Wenn M = \emptyset ist, so ist M \subset \emptyset ?

Aufgabe 16

Man zeige, dass nach dem Gregorianischen Kalender (d.h. Schaltjahr, wenn die Jahreszahl durch 4 teilbar ist, mit Ausnahme der Jahre, die durch 100, aber nicht durch 400 teilbar sind) der 13. eines Monats im langjährigen Durchschnitt häufiger auf einen Freitag fällt, als auf irgend einen anderen Wochentag. Hinweis: Der Geburtstag von Gauß, der 30. April 1777, war ein Mittwoch.

(Diese Aufgabe ist weniger eine Übung zur vollständigen Induktion, als eine Übung im systematischen Abzählen.)

Aufgabe 15

Es werde zufällig eine 7-stellige Zahl gewählt, wobei jede Zahl von 1000000 bis 9999999 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftrete. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 7 Zahlen paarweise verschieden sind?

Aufgabe 14

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Lotto „6 aus 49“ alle 6 gezogenen Zahlen gerade (bzw. alle ungerade) sind?

Aufgabe 13

Sei n eine natürliche Zahl. Wie viele Tripel (k_1,k_2,k_3) natürlicher Zahlen gibt es, die

k_1+k_2+k_3=n

erfüllen?