Aufgabe 5

Es sei r eine natürliche Zahl. Man zeige:

Es gibt rationale Zahlen a_{r1},\ldots,a_{rr} so, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:

\sum\limits_{k=1}^n k^r = \frac{1}{r+1}n^{r+1} + a_{rr}n^r + \ldots + a_{r1} n.

Aufgabe 2

Man beweise: Für jede natürliche Zahl n hat die Zahl P(n):=n^2+n+41 keinen Primfaktor \le 37.

Aufgabe 1

Lässt sich der Trick von Gauß über die Summe der ersten n natürlichen Zahlen auch anwenden, wenn n ungerade ist?

Aufgabe 5

Es sei X eine Menge und f: X \to {\mathcal P}(X) eine Abbildung von X in die zugehörige Potenzmenge. Man zeige, dass f nicht surjektiv sein kann.

Aufgabe 4

(i) Gibt es eine bijektive Abbildung {\mathbb N} \to {\mathbb Z}?

(ii) Gibt es für n \in {\mathbb N} eine bijektive Abbildung {\mathbb N} \to {\mathbb N} \times \{1,\ldots,n\}?

(iii) Gibt es eine bijektive Abbildung {\mathbb N} \to {\mathbb N}\times {\mathbb N}?

(iv) Gibt es eine bijektive Abbildung {\mathbb N} \to {\mathbb Q}?

Aufgabe 2

Es sei f: X \to Y eine Abbildung zwischen Mengen. Man zeige für Teilmengen M_1,\, M_2 \subset X und N_1,\, N_2 \subset Y:

(i) f(M_1 \cup M_2) = f(M_1) \cup f(M_2)

(ii) f(M_1\cap M_2) \subset f(M_1) \cap f(M_2)

(iii) f^{-1}(N_1 \cup N_2) = f^{-1}(N_1) \cup f^{-1}(N_2)

(iv) f^{-1}(N_1 \cap N_2) = f^{-1}(N_1) \cap f^{-1}(N_2)

Gilt in (ii) sogar Gleichheit?