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Aufgabe 2.7

Die folgenden linearen Gleichungssysteme sind alle über \mathbb{R} definiert. Wahr oder falsch? Begründe!

(1) Das lineare Gleichungssystem

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}

hat keine Lösung.

(2) Das lineare Gleichungssystem

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

hat unendlich viele Lösungen.

(3) Eine spezielle Lösung von

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

ist \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.

(4) Es sei A \in M_{mn}(\mathbb{R}), uns sei m<n. Dann hat Ax=b, b \in M_{m1}(\mathbb{R}), immer eine Lösung.

(5) Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat immer eine Lösung.

(6) Sind \lambda und \lambda' verschiedene Lösungen von Ax=b, so hat dieses lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

(7) Ein lineares Gleichungssystem Ax=b mit A \in M_{mn}(\mathbb{R}) und m > n hat nie mehr als eine Lösung.

(8) In M_{12}(\mathbb{R}) gibt es nur endlich viele Matrizen in Treppennormalform.

(9) In M_{21}(\mathbb{R}) gibt es nur endlich viele Matrizen in Treppennormalform.

(10) Wenn \lambda und \lambda' verschiedene Lösungen von Ax=0 sind, dann ist \lambda + \lambda' auch eine Lösung von Ax=0.

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Aufgabe 2.6

Sei V der Vektorraum der n\times n-Matrizen über einem Körper \mathbb{K}. Untersuchen Sie, ob die folgenden Teilmengen U und W von V Unterräume von V sind.

1. U=\left\{ A =(a_{ij}) \in V \, \vert \, a_{ij}=a_{ji} \ {\rm für}\ {\rm alle}\ 1\le i,j\le n\right\}.

2. Sei T eine feste Matrix in V, und sei W=\{ A \in V\, \vert\, AT=TA\}.

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Aufgabe 2.4

Sei V der Vektorraum der Polynome vom
Grad \le 2 über \mathbb{R}.

Beweisen Sie, dass die Polynome

p_1= 2T^2 + T +1, p_2 = 4T^2 + T, p_3 = -2T^2 +2T +1

ein Erzeugendensystem von V bilden.

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Aufgabe 2.1

Wahr oder falsch? Begründe.

(1) Seien A,B, C \in M_{nn}(\mathbb{R}). Wenn AB=0 und CA = I_n, so gilt B=0.

(2) Sei \mathbb{K} ein Körper, und seien A,B \in M_{nn}(\mathbb{K}). Dann gilt \texrm{Rg}(AB) = \texrm{Rg}(BA).

(3) Sei \mathbb{K} ein Körper, und sei A \in M_{nn}(\mathbb{K}). Wenn A invertierbar ist, dann ist \texrm{Rg}(A^{-1}) = \texrm{Rg}(A).

(4) Sei \mathbb{K} ein Körper, und seien A,B \in M_{nn}(\mathbb{K}). Wenn AB invertierbar ist, dann sind A und B invertierbar.

(5) Zeilenäquivalente Matrizen haben denselben Rang.

(6) Zwei m \times n-Matrizen mit demselben Rang sind zeilenäquivalent.

(7) Sei \mathbb{K} ein Körper, und seien A,B \in M_{nn}(\mathbb{K}). Wenn A und B invertierbar sind, dann ist A+B invertierbar.

(8) Wenn eine Matrix A invertierbar ist, dann ist A zeilenäquivalent zu A^{-1}.

(9) Die Matrix \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ist in Treppennormalform.

(10) Die Matrix \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ist in Treppennormalform.

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Aufgabe 1.18

Beweisen Sie folgende Formeln für alle n \in \mathbb{N} durch vollständige Induktion.

1. \sum\limits_{i=1}^n i(i+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}

2. \sum\limits_{i=1}^n a^{i-1}= \frac{a^n-1}{a-1} (dabei ist a^0 als 1 definiert und a\neq 1)

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Aufgabe 1.17

1. Beweisen Sie: Wenn eine quadratische Matrix A \in M_{nn}(\mathbb{K}) eine Zeile oder Spalte enthält, die nur aus Nullen besteht, dann ist A nicht invertierbar.

2. Geben Sie ein Beispiel für eine Matrix A \in M_{22}(\mathbb{R}), deren Einträge alle \ne 0 sind, und die nicht invertierbar ist. Wie in der Mathematik üblich, müssen Sie begründen, warum A nicht invertierbar sein kann.