Harald Grohganz – Rhombus

Definitionen

Eine Gruppe ist ein Paar $(G, *)$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung $*$ auf $G$ . Das heißt, durch $*$ wird die Abbildung $* : G \times G \to G$ , $(a,b) \mapsto a * b$ beschrieben. Erfüllt die Verknüpfung die folgenden Axiome, dann wird $(G,*)$ Gruppe genannt:

$\begin{align*} \text{Assoziativit\"at:}\quad &\forall a, b, c \in G: (a* b) * c = a * (b * c) \\ \text{Neutrales Element:}\quad &\exists e\in G: \forall a\in G: a * e = e * a = a \\ \text{Inverses Element:}\quad &\forall a \in G \exists a^{-1} \in G: a * a^{-1} = a^{-1} * a = e \end{align*}$

Gilt zusätzlich

$\begin{align*} \text{Kommutativit\"at:}\quad &\forall a, b \in G: a*b = b*a \, , \end{align*}$

so heißt die Gruppe kommutativ oder abelsch.

Oftmals schreiben wir kurz $ab$ für das Element $a* b$ und $G := (G,*)$ für die Gruppe.

Unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements $g \in G$ versteht man die kleinste natürliche Zahl $n > 0$ , für die $g^{n}=e$ gilt.

Übungsaufgabe

Zeige, dass eine Gruppe, in der jedes Element (außer $e$ ) die Ordnung $2$ hat, abelsch ist.

Autor: Harald Grohganz

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Übungsaufgabe

Rhombus ist wieder da!