Autor: Stefan Hartmann

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Aufgabe 2.18

Sei A \in M_{mn}(\mathbb{R}). Sei {\cal L} die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax=b, und sei b \ne \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}.

Beweisen Sie, dass {\cal L} kein Unterraum von \mathbb{R}^n ist.

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Aufgabe 2.17

Sei \mathbb{K} ein Körper, und sei A\in M_{mn}(\mathbb{K}) eine Matrix. Sei

W= \{w \in \mathbb{K}^m \ \vert \ \textrm {es gibt ein} \ x \in \mathbb{K}^n \ \textrm {mit}\ Ax=w\}.

1. Beweisen Sie, dass W ein Unterraum von \mathhb{K}^m ist.

2. Beweisen Sie, dass die Spalten von A ein Erzeugendensystem von W bilden.

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Aufgabe 2.16

Seien

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} und B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}

Matrizen über \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}. Sei X \in M_{23}(\mathbb{R}) eine beliebige Matrix.

Beweisen Sie, dass A(BX) und X dieselbe Treppennormalform haben.

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Aufgabe 2.15

Sei

A =\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & a \\ 1 & a & 0 \end{pmatrix} \in M_{nn}(\mathbb{R}).

Welche Bedingungen muss a \in \mathbb{R} erfüllen, damit das lineare Gleichungssystem

Ax = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

1. genau eine Lösung hat?

2. mehr als eine Lösung hat?

3. keine Lösung hat?

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Aufgabe 2.14

Sei \mathbb{K} ein Körper. Eine Matrix A=(a_{ij}) \in M_{nn}(\mathbb{K}) heißt untere Dreiecksmatrix, falls a_{ij}=0 für alle 1 \le i < j\le n.

Sei A=\begin{pmatrix} -4 & -2 & -2 \\ 3 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix} \in M_{33}(\mathbb{R}).

Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix S, so dass SA eine untere Dreiecksmatrix ist.

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Aufgabe 2.13

Sei \mathbb{K} ein Körper, und seien m,n\in \mathbb{N}. Wahr oder falsch? Begründe.

(1) Die Teilmenge

U=\left\{ \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \ \vert \ x_1 + x_2 =0\right\}

von \mathbb{R}^3 ist ein Unterraum von \mathbb{R}^3.

(2) Die Teilmenge

U=\left\{ \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \ \vert \ x_1 x_2 =0\right\}

von \mathbb{R}^3 ist ein Unterraum von \mathbb{R}^3.

(3) Die Teilmenge

U=\left\{ \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \ \vert \ x_1^2 + x_2 =x_3\right\}

von \mathbb{R}^3 ist ein Unterraum von \mathbb{R}^3.

(4) Die Teilmenge

U=\left\{ \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \ \vert \ x_1^2 + x_2 =x_3\right\}

von \mathbb{F}_2^3 ist ein Unterraum von \mathbb{F}_2^3.

(5) Die Teilmenge

U=\left\{ \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \ \vert \ x_1^2 + x_2<2 =0\right\}

von \mathbb{R}^3 ist ein Unterraum von \mathbb{R}^3

(6) Je zwei invertiertbare n \times n-Matrizen über einem Körper \mathbb{K} sind zeilenäquivalent.

(7) Die Metrizen \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} sind zeilenäquivalent.

(8) Wenn eine Matrix A \in M_{mn}(\mathbb{K}) nur zu sich selbst zeilenäquivalent ist, dann sind alle Einträge in A Null.

(9) Seien A \in M_{mn}(\mathbb{K}) und B \in M_{nm}(\mathbb{K}) mit AB=I_n. Dann gilt m\ge n.

(10) Die Produkte AB und BA von zwei Matrizen A und B seien definiert. Wenn AB invertierbar ist, dann ist auch BA invertierbar.

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Aufgabe 2.11

Sei \mathbb{R} ein Körper, und sei A \in M_{nn}(\mathbb{K}). Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. Es gibt eine Matrix B \in M_{nn}(\mathbb{K}), B \ne 0, so dass Einträge von AB null sind.

2. Rg(A) < n.

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Aufgabe 2.9

Untersuchen Sie folgende Teilmengen von M_{22}(\mathbb{R}) darauf, ob sie Unterräume von M_{22}(\mathbb{R}) sind (Begründung bitte nicht vergessen!):

1. Die Teilmenge X_1 der Matrizen vom Rang 1.

2. Die Teilmenge X_2 der Matrizen vom Rang 0.

3. Die Teilmenge X_3 der Matrizen A, die die Gleichung A\cdot A + A = I_2 erfüllen.

4. Die Teilmenge X_4 der Matrizen \left\{ \begin{pmatrix}a & b \\ b & c \end{pmatrix}\, | \, a,b,c \in \mathbb{R} \right\}.