Sei . Sei
die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems
, und sei
.
Beweisen Sie, dass kein Unterraum von
ist.
Sei . Sei
die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems
, und sei
.
Beweisen Sie, dass kein Unterraum von
ist.
Sei ein Körper, und sei
eine Matrix. Sei
.
1. Beweisen Sie, dass ein Unterraum von
ist.
2. Beweisen Sie, dass die Spalten von ein Erzeugendensystem von
bilden.
Seien
und
Matrizen über ,
. Sei
eine beliebige Matrix.
Beweisen Sie, dass und
dieselbe Treppennormalform haben.
Sei
.
Welche Bedingungen muss erfüllen, damit das lineare Gleichungssystem
1. genau eine Lösung hat?
2. mehr als eine Lösung hat?
3. keine Lösung hat?
Sei ein Körper. Eine Matrix
heißt untere Dreiecksmatrix, falls
für alle
.
Sei .
Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix , so dass
eine untere Dreiecksmatrix ist.
Sei ein Körper, und seien
. Wahr oder falsch? Begründe.
(1) Die Teilmenge
von ist ein Unterraum von
.
(2) Die Teilmenge
von ist ein Unterraum von
.
(3) Die Teilmenge
von ist ein Unterraum von
.
(4) Die Teilmenge
von ist ein Unterraum von
.
(5) Die Teilmenge
von ist ein Unterraum von
(6) Je zwei invertiertbare -Matrizen über einem Körper
sind zeilenäquivalent.
(7) Die Metrizen und
sind zeilenäquivalent.
(8) Wenn eine Matrix nur zu sich selbst zeilenäquivalent ist, dann sind alle Einträge in
Null.
(9) Seien und
mit
. Dann gilt
.
(10) Die Produkte und
von zwei Matrizen
und
seien definiert. Wenn
invertierbar ist, dann ist auch
invertierbar.
Untersuchen Sie den Rang der Matrix
in Abhängigkeit von .
Sei ein Körper, und sei
. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
1. Es gibt eine Matrix ,
, so dass Einträge von
null sind.
2. .
Untersuchen Sie, ob
in gilt.
Untersuchen Sie folgende Teilmengen von darauf, ob sie Unterräume von
sind (Begründung bitte nicht vergessen!):
1. Die Teilmenge der Matrizen vom Rang
.
2. Die Teilmenge der Matrizen vom Rang
.
3. Die Teilmenge der Matrizen
, die die Gleichung
erfüllen.
4. Die Teilmenge der Matrizen
.