Aufgabe 16

Man zeige, dass nach dem Gregorianischen Kalender (d.h. Schaltjahr, wenn die Jahreszahl durch 4 teilbar ist, mit Ausnahme der Jahre, die durch 100, aber nicht durch 400 teilbar sind) der 13. eines Monats im langjährigen Durchschnitt häufiger auf einen Freitag fällt, als auf irgend einen anderen Wochentag. Hinweis: Der Geburtstag von Gauß, der 30. April 1777, war ein Mittwoch.

(Diese Aufgabe ist weniger eine Übung zur vollständigen Induktion, als eine Übung im systematischen Abzählen.)

Aufgabe 15

Es werde zufällig eine 7-stellige Zahl gewählt, wobei jede Zahl von 1000000 bis 9999999 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftrete. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 7 Zahlen paarweise verschieden sind?

Aufgabe 14

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Lotto „6 aus 49“ alle 6 gezogenen Zahlen gerade (bzw. alle ungerade) sind?

Aufgabe 13

Sei n eine natürliche Zahl. Wie viele Tripel (k_1,k_2,k_3) natürlicher Zahlen gibt es, die

k_1+k_2+k_3=n

erfüllen?

Aufgabe 12

Ersetzt man im Pascalschen Dreieck die Einträge durch kleine rechteckige weiße und schwarze Kästchen, je nachdem der entsprechende Binomial-Koeffizient gerade oder ungerade ist, so entsteht eine interessante Figur, siehe Bild 1.1.

Wir bezeichnen das Kästchen, das dem Binomial-Koeffizienten {k \choose l} entspricht, mit (k,l). In der Figur sind alle Kästchen (k,l) bis k=63 dargestellt. Man beweise dazu:

a) {{2^n-1} \choose l ist ungerade für alle 0 \le l \le 2^n-1, d.h. die Zelle mit k=2^n -1 ist vollständig schwarz.

b) {2^n \choose l} ist gerade für alle 1 \le l \le 2^n-1.

c) {{2^n+l} \choose l} ist ungerade für alle 0 \le l \le 2^n-1.

d) Das Dreieck mit den Ecken (0,0), (2^n-1,0), (2^n-1,2^n-1) geht durch Verschiebung (k,l) \mapsto (2^n+k,l) in das Dreieck (2^n,0), (2^{2n}-1,0), (2^{2n}-1,2^n-1) mit demselben Farbmuster über.

e) Das Dreieck mit den Ecken (0,0), (2^n-1,0), (2^n-1,2^n-1) weist außerdem eine Symmetrie bzgl. Drehungen um den Mittelpunkt mit Winkel 120 Grad und 240 Grad auf,  genauer: Durch die Transformation

(k,l) \mapsto (2^n-1-l,k-l) ,    (0 \le l \le k \le 2^n-1)

geht das Dreieck unter Erhaltung des Farbmusters in sich über, d.h. die Binomialkoeffizienten

{k \choose l}    und    {{2^n-1-l} \choose {k-l}

sind entweder beide gerade oder beide ungerade.

Aufgabe 11

Für eine reelle Zahl x und eine natürliche Zahl k werde definiert

{x \choose k}:= \prod\limits_{j=1}^k \frac{x-j+1}{j} = \frac{x(x-1)\cdot \ldots \cdot (x-k+1)}{k!} ,

insbesondere {x \choose 0}=1. Man beweise für alle reellen Zahlen x,\, y und alle natürlichen Zahlen n

{{x+y} \choose n} = \sum\limits_{k=0}^n {x \choose {n-k}}{y \choose k}.

Aufgabe 10

Man beweise: Eine n-elementige Menge (n>0) besitzt ebenso viele Teilmengen mit einer geraden Zahl von Elementen wie Teilmengen mit einer ungeraden Zahl von Elementen.

Aufgabe 8

Seien a_0,\, a_1,\ldots,a_n und b_0,\, b_1,\ldots,b_n reelle Zahlen und

A_k := \sum\limits_{i=0}^k a_i   ,   B_k := \sum\limits_{i=0}^k b_i    für k=0,\,1,\ldots,n.

Man beweise (Abelsche partielle Summation):

\sum\limits_{k=0}^n A_kb_k = A_nB_n - \sum\limits_{k=0}^{n-1}a_{k+1}B_k.