Aufgabe 8

Zeigen Sie: Die Abbildung \sigma : z \rightarrow \overline{z} beschreibt eine Spiegelung an der x-Achse. (Dafür müssen Sie zeigen, dass \sigma Punkte in Punkte, Geraden in Geraden überführt, dass jeder Punkt der x-Achse festbleibt und dass jede Gerade senkrecht zur x-Achse in sich überführt wird.)

Aufgabe 7

Beschreiben Sie die geometrische Operation, die durch die Multiplikation mit einer komplexen Zahl c+id beschrieben wird, indem Sie diese als Hintereinanderausführung einer Drehung und einer Streckung („Drehstreckung“) beschreiben.

Aufgabe 6

Zeigen Sie: Die Multiplikation mit der komplexen Zahl z = \cos \varphi + i \cdot  \sin \varphi beschreibt eine Drehung um den Ursprung um den Winkel \varphi.  Für welchen Winkel \varphi erhält man eine Punktspiegelung?

Aufgabe 5

Welchen Effekt beobachten Sie, wenn Sie die Punkte A, B, C mit der komplexen Zahl z=\cos 45° + i \cdot \sin 45° multiplizieren?

Aufgabe 4

Zeichnen Sie ein Dreieck mit den Eckpunkten A=(a,a'), B=(b,b') und C=(c,c') in die Ebene (wählen Sie konkrete Punkte für a, a', b, b', c, c'). Multiplizieren Sie jeden Punkt mit i. (Das heißt: Bilden Sie die Punkte A^*=(a+ia')i, B^*=, \ldots) Beschreiben Sie die geometrische Operation, die das Ausgangsdreieck vollzogen hat.)

Aufgabe 3

Zeigen Sie: Die Abbildung der Gaußschen Zahlenebene in sich, die durch Multiplikation mit einer reellen Zahl \ne 0 beschrieben wird, ist eine Streckung mit Zentrum 0.

(Bemerkung: Auch hier ist nicht wirklich was zu zeigen, wenn man sich Aufgabe 2 überlegt hat. Trotzdem bitte nochmal formal aufschreiben.)

Aufgabe 2

Auf welchen Punkt wird ein Punkt A abgebildet, wenn er mit 2 multipliziert wird? Gibt es einen Punkt, der bei dieser Abbildung unverändert bleibt? (Einen solchen Punkt nennt man {\bf Fixpunkt}.) Welche Geraden bleiben fest?

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass die Summe der Elemente a+ib \ , \ c+id \in {\mathbb C} der Summe der Punkte (a,b) und (c,d) entspricht. Die {\bf Summe} zweier Punkte P und Q ist dabei erklärt als der vierte Punkt des Parallelogramms, das die Punkte 0, P und Q als Ecken hat.

(Bemerkung: Hier ist nicht wirklich was zu zeigen. Du musst es dir nur klarmachen. Schreib einfach kurz auf, warum der vierte Punkt des Parallelogramms die entsprechenden Koordinaten hat.)