Kategorie: Projekt: Die Gaußsche Zahlenebene

Zeigen Sie: Die Abbildung beschreibt eine Spiegelung an der -Achse. (Dafür müssen Sie zeigen, dass Punkte in Punkte, Geraden in Geraden überführt, dass jeder Punkt der -Achse festbleibt und dass jede Gerade senkrecht zur -Achse in sich überführt wird.)

Beschreiben Sie die geometrische Operation, die durch die Multiplikation mit einer komplexen Zahl beschrieben wird, indem Sie diese als Hintereinanderausführung einer Drehung und einer Streckung („Drehstreckung“) beschreiben.

Zeigen Sie: Die Multiplikation mit der komplexen Zahl beschreibt eine Drehung um den Ursprung um den Winkel .  Für welchen Winkel erhält man eine Punktspiegelung?

Welchen Effekt beobachten Sie, wenn Sie die Punkte , , mit der komplexen Zahl multiplizieren?

Zeichnen Sie ein Dreieck mit den Eckpunkten , und in die Ebene (wählen Sie konkrete Punkte für , , , , , ). Multiplizieren Sie jeden Punkt mit . (Das heißt: Bilden Sie die Punkte , , ) Beschreiben Sie die geometrische Operation, die das Ausgangsdreieck vollzogen hat.)

Zeigen Sie: Die Abbildung der Gaußschen Zahlenebene in sich, die durch Multiplikation mit einer reellen Zahl beschrieben wird, ist eine Streckung mit Zentrum .

(Bemerkung: Auch hier ist nicht wirklich was zu zeigen, wenn man sich Aufgabe 2 überlegt hat. Trotzdem bitte nochmal formal aufschreiben.)

Auf welchen Punkt wird ein Punkt abgebildet, wenn er mit multipliziert wird? Gibt es einen Punkt, der bei dieser Abbildung unverändert bleibt? (Einen solchen Punkt nennt man .) Welche Geraden bleiben fest?

Zeigen Sie, dass die Summe der Elemente der Summe der Punkte und entspricht. Die zweier Punkte und ist dabei erklärt als der vierte Punkt des Parallelogramms, das die Punkte , und als Ecken hat.

(Bemerkung: Hier ist nicht wirklich was zu zeigen. Du musst es dir nur klarmachen. Schreib einfach kurz auf, warum der vierte Punkt des Parallelogramms die entsprechenden Koordinaten hat.)