Aufgabe 1.11

Sei f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} definiert durch f(z) = \vert z \vert für alle z \in \mathbb{Z}. Dabei ist \vert z \vert = z, falls z \ge 0, und \vert z \vert = -z, als z<0.

1. Untersuchen Sie, ob f surjektiv beziehungsweise injektiv ist.

2. Sei U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}. Bestimmen Sie f(U):=\{f(u) \ \vert \ u \in U\}, und bestimmen Sie die Menge der Urbilder der Elemente in f(U).

3. Sei V=\{-10,-5,0,10,15\}. Sei W die Menge der Urbilder der Elemente in V unter f. Bestimmen Sie die Elemente in W und in f(W):=\{f(w) \ \vert \ w \in W\}.

Aufgabe 1.8

Seien A, B und C Aussagen. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen logisch äquivalent sind:

1. (A \land B) \Rightarrow C und (A \Rightarrow C) \land (B \Rightarrow C) sind äquivalent.

2. (A \lor B) \Rightarrow C und (A \Rightarrow C) \lor (B \Rightarrow C) sind äquivalent.

Beispielaufgabe

Definitionen

Eine Gruppe ist ein Paar (G, *) bestehend aus einer Menge G und einer inneren zweistelligen Verknüpfung * auf G. Das heißt, durch * wird die Abbildung * : G \times G \to G, (a,b) \mapsto a * b beschrieben. Erfüllt die Verknüpfung die folgenden Axiome, dann wird (G,*) Gruppe genannt:

    \begin{align*}   \text{Assoziativit\"at:}\quad  &\forall a, b, c \in G: (a* b) * c = a * (b * c) \\   \text{Neutrales Element:}\quad  &\exists e\in G: \forall a\in G: a * e = e * a = a \\   \text{Inverses Element:}\quad  &\forall a \in G \exists a^{-1} \in G: a * a^{-1} = a^{-1} * a = e \end{align*}

Gilt zusätzlich

    \begin{align*}   \text{Kommutativit\"at:}\quad  &\forall a, b \in G: a*b = b*a \, , \end{align*}

so heißt die Gruppe kommutativ oder abelsch.

Oftmals schreiben wir kurz ab für das Element a* b und G := (G,*) für die Gruppe.

Unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements g \in G versteht man die kleinste natürliche Zahl n > 0, für die g^{n}=e gilt.

Übungsaufgabe

Zeige, dass eine Gruppe, in der jedes Element (außer e) die Ordnung 2 hat, abelsch ist.