Aufgabe 9

Welche der folgenden Abbildungen f von \mathbb{R} in sich sind injektiv, welche sind surjektiv?

  • f(x)=x^3 ,
  • f(x)=ax^2+bx+c   (a \ne 0) ,
  • f(x) = |x| ,
  • f(x) = e^x.

Aufgabe 7

Zeigen Sie, dass die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind:

(a) Zwei natürliche Zahlen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Quersumme haben.

(b) Zwei Städte sind äquivalent, wenn man von der einen in die andere per Bahn fahren kann.

Aufgabe 3

Zeigen Sie, dass die in Abschnitt 1.2 angegebenen Äquivalenzrelationen wirklich Äquivalenzrelationen sind.

Beispielaufgabe

Definitionen

Eine Gruppe ist ein Paar (G, *) bestehend aus einer Menge G und einer inneren zweistelligen Verknüpfung * auf G. Das heißt, durch * wird die Abbildung * : G \times G \to G, (a,b) \mapsto a * b beschrieben. Erfüllt die Verknüpfung die folgenden Axiome, dann wird (G,*) Gruppe genannt:

    \begin{align*}   \text{Assoziativit\"at:}\quad  &\forall a, b, c \in G: (a* b) * c = a * (b * c) \\   \text{Neutrales Element:}\quad  &\exists e\in G: \forall a\in G: a * e = e * a = a \\   \text{Inverses Element:}\quad  &\forall a \in G \exists a^{-1} \in G: a * a^{-1} = a^{-1} * a = e \end{align*}

Gilt zusätzlich

    \begin{align*}   \text{Kommutativit\"at:}\quad  &\forall a, b \in G: a*b = b*a \, , \end{align*}

so heißt die Gruppe kommutativ oder abelsch.

Oftmals schreiben wir kurz ab für das Element a* b und G := (G,*) für die Gruppe.

Unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements g \in G versteht man die kleinste natürliche Zahl n > 0, für die g^{n}=e gilt.

Übungsaufgabe

Zeige, dass eine Gruppe, in der jedes Element (außer e) die Ordnung 2 hat, abelsch ist.